Sea $n$ tal que $\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}$ es un racional $\frac{p}{q}$ con $p,q$ enteros positivos coprimos.
$$\to\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}=\frac{p}{q}\to \exists \text{ $k \in \mathbb{Z}$ } \text{ tal que }n+5=k\times q^2\text{ y } 4n-2=k\times p^2=4(n+5)-22=4k\times q^2-22$$
$$\to k(4q^2-p^2)=22\to 4q^2-p^2\mid 22 $$
Si $p$ es par entonces claramente $4\mid 4q^2-p^2\mid 22$ lo que es una contradicción.
Luego, $p$ es impar, por lo que $4q^2-p^2\equiv 0-1\equiv 3$(mod $4$) que divide a 22, osea $4q^2-p^2=11$ o $-1$.
Como $4q^2-p^2=(2q-p)(2q+p)$ luego la pareja $(2q-p,2q+p)$ solo tiene las siguientes posibilidades:
$$(11,1),(1,11),(-1,-11),(-11,-1),(-1,1),(1,-1)$$
Pero como dicha pareja tiene suma de elementos $4q>0$ luego solo nos quedan los casos donde $4q=12\to q=3$. Con esto obtenemos $p=5, k=2$, debido que $p>0$.
Entonces $n=k\times q^2-5=13$ es la única solución posible.
