Teorema del resto

[amcandio]

Sea [math]P(x) un polinomio con coeficientes en [math]\mathbb{R} y [math]r\in \mathbb{R}. Entonces se tiene que el resto de [math]P(x) en la división por [math]x-r es [math]P(r).

Si consideramos el cociente [math]Q(x) en la división de [math]P(x) por [math]x-r, se tiene que [math]P(x)=Q(x)(x-r)+P(r). Dicho de otra forma, [math]x-r \mid P(x)-P(r).

Un caso particular bastante útil es el siguiente: [math]P( r)=0\Leftrightarrow x-r \mid P(x).


Demostración: Por el algoritmo de división de polinomios, existen polinomios [math]Q(x), [math]R(x) con coeficientes reales tales que
[math]P(x)=Q(x)(x-r)+R(x) y tales que el grado de [math]R(x) es menor al de [math]x-r. O sea que [math]R(x) es constante.

Evaluando en [math]r, se tiene [math]P(r)=Q(r)(r-r)+R(r) luego [math]P(r)=R(r) y como [math]R(x) es constante, sigue que [math]R(x)=P(r).



Comentario: El teorema vale para polinomios con coeficientes en cualquier cuerpo, por ejemplo [math]\mathbb{Q}, [math]\mathbb{C} o [math]\mathbb{Z}_p.

[amcandio]

Otra Demostracion:
Lema: [math]x-r|x^n-r^n para todo [math]n.

Spoiler: mostrar

Es facil de ver por induccion.
Supogamos que para [math]n se cumple que [math]\frac{x^n-r^n}{x-r}=\sum_{i=0}^{n-1}x^ir^{n-1-i}
Multiplicando todo por [math]n, nos queda [math]\frac{x^{n+1}-xr^n}{x-r}=\sum_{i=0}^{n-1}x^{i+1}r^{n-1-i}
Ahora le sumamos a cada lado [math]r^{n+1} y nos queda [math]\frac{x^n-r^n+r^{n+1}(x-r)}{x-r}=\sum_{i=0}^{n-1}x^ir^{n-1-i}+r^{n+1}
y finalmente nos queda [math]\frac{x^{n+1}-r^{n+1}}{x-r}=\sum_{i=0}^{n}x^ir^{n-i}.
Es decir, si se puede para [math]n, entonces se puede para [math]n+1, como se puede para [math]0, entonces por induccion, se puede para cualquier entero no negativo.
Tambien se puede demostrar defiendose [math]P(x)=x^n, por este lema

Volviendo al problema, si dividimos a [math]f(x)-f(r) por [math]x-r, nos queda [math]\begin{align*}{f(x)-f(r)}&={a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0-a_nr^n-a_{n-1}r^{n-1}-...-a_0}\\ &=a_n(x^n-r^n)+a_{n-1}(x^{n-1}-r^{n-1})+...+a_1(x-r)\end{align*}
Aplicando nuestro lema, vemos que ese polinomio es divisible por [math]x-r, sea [math]Q(x) el cociente, entonces nos queda [math]f(x)-f(r)=(x-r)Q(x), y finalmente

[math]f(x)=Q(x)(x-r)+f(r)

Por la unicidad de la división de polinomios sigue lo que queremos probar.