Hay $8$ bolsas de arena numeradas del $1$ al $8$ tales que, supuestamente, cada bolsa a partir de la bolsa número $3$, ordenada por su número, tiene peso igual a la suma de las dos bolsas que la preceden. Al dueño de las bolsas le llega el rumor de que una de las bolsas pesa menos de lo estipulado. Hay que indicar cómo, con dos pesadas en una balanza de platos, sin pesas adicionales, el dueño puede determinar cuál es la bolsa que pesa de menos o que el rumor es falso y todas tienen el peso correcto. (Se sabe que ninguna bolsa pesa de más y no hay más de una bolsa que pese de menos).
Primero llamamos $x$ al peso de la primera bolsa, $y$ al peso de la segunda bolsa, a partir de ahí calculamos cuanto debería pesar cada una de las todas las bolsas en función de ellas:
3ra: $x+y$
4ra: $x+2y$
5ra: $2x+3y$
6ra: $3x+5y$
7ra: $5x+8y$
8ra: $8x+13y$
Ahora bien, identificamos a cada bolsa con su número, es decir, al decir que pesamos $(1,4,7)$ estamos diciendo que ponemos en un platillo la primera, la cuarta y la séptima bolsa, al decir $2+3=4$ estamos diciendo que el peso de la segunda bolsa y el peso de la tercera suman el peso de la cuarta. Ahora si, las pesadas:
Primera pesada: Como $3+6+7=1+2+8$, vamos a colocar en un platillo $(3,6,7)$ y en el otro $(1,2,8)$.
Vamos a separar en casos según lo que suceda:
Si $(3,6,7)=(1,2,8)$, entonces, en caso de haber alguna bolsa con peso incorrecto, debería ser $4$ o $5$. Como $3+4=5$, colocamos en un platillo $(3,4)$ y en el otro $(5)$:
Si $(3,4)=(5)$ entonces todas las pesas tienen su peso correcto y el rumor era falso.
Si $(3,4) < (5)$ entonces $4$ tiene su peso incorrecto y el rumor es cierto.
Si $(3,4) > (5)$ entonces $5$ tiene su peso incorrecto y el rumor es cierto.
Si $(3,6,7)<(1,2,8)$ podemos afirmar que el rumor es cierto y que hay una bolsa que pesa menos, y esa bolsa es $3, 6$ o $7$. Como $1+2=3$ y $4+5=6$ colocamos en un plato $(3,4,5)$ y en el otro $(1,2,6)$:
Si $(3,4,5)=(1,2,6)$ entonces $7$ es, por descarte, la que pesa menos de lo que debe.
Si $(3,4,5)<(1,2,6)$ entonces $3$ tiene su peso incorrecto y pesa menos de lo que debe.
Si $(3,4,5)>(1,2,6)$ entonces $6$ tiene su peso incorrecto y pesa menos de lo que debe.
Si $(3,6,7)>(1,2,8)$ podemos afirmar que el rumor es cierto y que hay una bolsa que pesa menos, y esa bolsa es $1, 2$ o $8$. Como $2+3=4$ y $6+7=8$ colocamos en un plato $(2,3,6,7)$ y en el otro $(4,8)$:
Si $(2,3,6,7)=(4,8)$ entonces, por descarte, $1$ tiene su peso incorrecta y pesa menos de lo que debe.
Si $(2,3,6,7)<(4,8)$ entonces $2$ tiene su peso incorrecto y pesa menos de lo que debe.
Si $(2,3,6,7)>(4,8)$ entonces $8$ tiene su peso incorrecto y pesa menos de lo que debe.
Luego, no quedan más casos por analizar y la solución está completa $\blacksquare$
Como mi solución fue diferente a la de turco arias, la voy a mostrar para tener dos puntos de vista o que alguien me lo corrija. muchas gracias por leer.
Denote como a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h a las bolsas 1 a 8 y analizando las propiedades que tienen las bolsas del 3 al 8 ponemos en un lado de la balanza a H y a E.
En el otro lado: C, D, F y G siendo supuestamente iguales, acá se divide en 2
casos:
a) La balanza esta equilibrada, entonces solo queda que A o B sean los que
tienen menor peso. Como se puede afirmar que solo hay un solo defectuoso entonces el resto esta bien y cuando pongamos en la balanza: B + C = D si
no hay equilibrio B es el defectuoso, de lo contrario seria A.
b) La balanza no puede estar desequilibrada ya que si no el defectuoso esta entre esos 6 y A y B están bien lo que dice que C esta bien y así hasta la H estando todas bien contradiciendo la balanza.
