Función vale 1 en una cantidad finita de puntos

[Gianni De Rico]

Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ que satisfacen las siguientes condiciones:

• $f(x+f(y))=f(x)f(y)$ para todos $x,y>0$;
• hay una cantidad finita de valores de $x$ para los cuales $f(x)=1$.

[El gran Filipikachu;]

Spoiler: mostrar

Supongamos que hay algún número $a \in \mathbb{R^+}$ tal que $f(a)=1$
Reemplazando $y=a$ tenemos
$f(x+f(a))=f(x)f(a) \qquad \Rightarrow \qquad f(x+1)=f(x)$

De esta forma, si reemplazamos sucesivamente $x=a, x=a+1, x=a+2, ..., x=a+n$ con $n \in \mathbb{N}$ vamos a tener
$1=f(a)=f(a+1)=f(a+2)=...=f(a+n)$, por lo tanto habrá infinitos valores donde $f(x)=1$.
Esto contradice la segunda condición, por lo que no hay ningún $a$ tal que $f(a)=1$

A partir de acá ya no vale, tengo que volver a pensarlo

Spoiler: mostrar

Ahora como $f(y) \in \mathbb{R^+}$ podemos reemplazar $x= \frac{1}{f(y)}$
$f(x+f(y))=f(x)f(y)$
$f(\frac{1}{f(y)}+f(y))=\frac{1}{f(y)}\cdot f(y)$
$f(\frac{1}{f(y)}+f(y))=1$
Pero habíamos dicho que no hay ningún $a$ tal que $f(a)=1$. Por lo tanto $f$ no tiene soluciones que cumplan las condiciones.

[Matías V5]

Spoiler: mostrar

Supongamos que hay algún número $a \in \mathbb{R^+}$ tal que $f(a)=1$
Reemplazando $y=a$ tenemos
$f(x+f(a))=f(x)f(a) \qquad \Rightarrow \qquad f(x+1)=f(x)$

De esta forma, si reemplazamos sucesivamente $x=a, x=a+1, x=a+2, ..., x=a+n$ con $n \in \mathbb{N}$ vamos a tener
$1=f(a)=f(a+1)=f(a+2)=...=f(a+n)$, por lo tanto habrá infinitos valores donde $f(x)=1$.
Esto contradice la segunda condición, por lo que no hay ningún $a$ tal que $f(a)=1$

Ahora como $f(y) \in \mathbb{R^+}$ podemos reemplazar $x= \frac{1}{f(y)}$
$f(x+f(y))=f(x)f(y)$
$f(\frac{1}{f(y)}+f(y))=\frac{1}{f(y)}\cdot f(y)$
$f(\frac{1}{f(y)}+f(y))=1$
Pero habíamos dicho que no hay ningún $a$ tal que $f(a)=1$. Por lo tanto $f$ no tiene soluciones que cumplan las condiciones.

Fijate que te falta una $f$ en el penúltimo renglón..

[Juaco]

$f(\frac{1}{f(y)}+f(y))=\frac{1}{f(y)}\cdot f(y)$

acá debería ser
$f\left ( \frac {1}{f (y)} + f (y)\right) = f\left (\frac{1}{f(y)}\right)\cdot f(y)$