OMAlbum - Problema #A012

[Matías V5]

Sea $ABCDE$ un pentágono de lados $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ y $EA$. En este pentágono se cumple que $AB=BE=75$, $EA=90$ y $BCDE$ es un rectángulo. Además, el área de $ABE$ es la mitad del área del pentágono $ABCDE$.
Calcular el perímetro del pentágono $ABCDE$.

[Nicolas gonzalez]

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Por el enunciado tenemos que el triangulo $ABE$ es isósceles con: $AB=BE=75$ Y $EA=90$.
Y como $BCDE$ es un rectangulo, tenemos: $BE=DC=75$ y $BC=DE$
Y tambien como el enunciado dice que el area del triangulo $ABE$ es la mitad del area del pentagono: $area(ABE)=area(BCDE)$

Como el triangulo $ABE$ es isosceles si trazamos la altura desde $B$ va a coincidir con el punto medio de $AE$ que es $45$
con pitagoras sacamos la altura del triangulo: $h^2 + 45^2=75^2$ nos queda $h=\sqrt{5625-2025}$ $ \rightarrow $ $h=60$

Con esta informacion sacamos el area del triangulo $ABE$ que nos queda: $\frac{90.60}{2}=\frac{5400}{2}= 2700$

como el area de un rectangulo en $base.altura$ ($BE.BC$) Y como el area del triangulo $ABE$ es igual a la del rectangulo $BCDE$

tenemos que: $2700=BE.BC$ $ \rightarrow $ (BE=75 ya dijimos) nos $BC=\frac{2700}{75}$ $$BC=36$$

Y con esto ya podemos sacar el perimetro del rectangulo: $$75+36+75+36+90=312$$

[Ale.p]

Como BCDE es un rectangulo implica que DC=EB=AB=75. Como el area del triangulo ABE es la mitad de el pentagono ABCDE, el area del rectangulo BCDE= al area de ABE.
Como el triangulo ABE es isosceles, su altura es la raiz cuadrada de 75^2-45^2=3600, que es 60.
Entonces el area del triangulo ABE y el rectangulo BCDE es 60×45=2700. De esta informacion podemos calcular DE=BC=2700:75=36.
Entonces el perimetro del pentagono ABCDE=36+36+75+75+90=312.

[Genericool]

El área del triángulo $ABE$ también se puede calcular con la fórmula de Herón, que es $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$, en donde $a$, $b$ y $c$ son los lados y $s$ es el semiperímetro del triángulo. El perímetro de $ABE$ es $240$, de modo que el área sería $\sqrt{120 \times 30 \times 45 \times 45} = \sqrt{7290000} = 2700$.