Intercolegial 2020 - N1 P6

[Gianni De Rico]

Los asientos en una calesita están numerados con los números $1,2,3,\ldots$ en ese orden. Se sabe que Ana está sentada en el asiento número $24$ y Bea en el asiento número $111$, diametralmente opuesto al de Ana. ¿Cuántos asientos tiene la calesita?

[bruno]

Spoiler: mostrar

Si dos asientos (puntos) sobre la circunferencia (calesita) son diametralmente opuestos entonces la cantidad de asientos en cada semicircunferencia determinada por esos asientos es la misma porque la longitud de arco de circunferencia entre dos asientos consecutivos es constante.
Luego si numero los asientos desde el $1$ hasta el $n$ entonces se verificaria:
La cantidad de asientos desde el $25$ hasta el $110$ es igual a la cantidad de asientos desde $112$ hasta el $23$

La cantidad de asientos desde el numero $25$ al $110$ es $110-25+1=86$

La cantidad de asientos desde el numero $112$ al $23$ se puede calcular como la cantidad de asientos del numero $1$ al $23$ ($23-1+1=23$) mas la cantidad de asientos del numero $112$ al $n$ ($n-112+1=n-111$)

Por lo tanto

$86=23+(n-111)$
$n=174$

Luego la calesita tiene $174$ asientos

[Dauphineg]

Spoiler: mostrar

Para que ocurra que $2$ asientos estén diametralmente opuestos debe ocurrir que el número de asientos sea par, digamos que es $2n$ con $n $ natural, todas las parejas de asientos $(n,2n)$ ; $(n-1,2n-1)$;...;$(1,n+1)$ son las que estarán diametralmente opuestas, observar que la resta de los números (mayor$-$menor) de todas las parejas es invariante e igual a $n$, entonces $111-24=n \Rightarrow 87=n \Rightarrow 2n=174$ y terminamos