Torneo de las Ciudades - Marzo 2020 - NM P7

[Turko Arias]

Consideramos el plano infinito dividido en casillas de $1\times 1$. Determinar para que valores de $k$ es posible colorear de negro una cantidad positiva finita de casillas de modo que en cada línea horizontal, en cada línea vertical y en cada línea diagonal haya o bien exactamente $k$ casillas negras o bien ninguna casilla negra.

[Joacoini]

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Se puede para todo $k$, la idea es armarte una figura que cumpla las diagonales pero que tenga exactamente una casilla pintada o bien ninguna en cada fila y columna y luego copiar esa figura $k^2$ formando un tablero de $k\times k$ evitando que las diagonales de una copia toquen otra.
Dejo los ejemplos para $k=2$ y $k=3$.

2023-01-13_19.17.30.png

Mis ejemplos usan $k^4$ casillas pintadas, esto se puede mejorar para los pares dado de que hay ejemplo para $k=2$ usando $8$ casillas pintadas y se puede demostrar de que si hay un ejemplo para $n$ con $N$ casillas pintadas y un ejemplo para $m$ con $M$ casillas pintadas entonces hay para $n\cdot m$ con $N\cdot M$ casillas pintadas.

[sebach]

No entiendo algo...

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Coloreando $0$ casillas negras no se cumple lo pedido para cualquier valor de $k$ ?

[Gianni De Rico]

No entiendo algo...

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Coloreando $0$ casillas negras no se cumple lo pedido para cualquier valor de $k$ ?

Lo único que tengo para decir al respecto es esto:

6) Desconfiar de las soluciones "demasiado simples".
Muchas veces pasa que a uno se le ocurre una respuesta para un problema que lo vuelve extremadamente fácil, es decir que si esa fuera realmente la respuesta correcta entonces "no hay que hacer nada". Miremos por ejemplo este problema del nacional de 2012:

Para cada número natural $x$ sea $S(x)$ la suma de sus dígitos. Hallar el menor número natural $n$ tal que $9S(n) = 16S(2n)$.

A alguien se le podría ocurrir que, como la suma de dígitos de $0$ es $0$, y $2 \cdot 0 = 0$, es claro que $n=0$ cumple la ecuación que nos dan (queda $0$ de los dos lados), y obviamente no hay un número menor que funcione, así que la respuesta es $n=0$.
Por supuesto, este argumento no funciona porque el $0$ no es un número natural. Pero más allá de eso, uno debería poder intuir que las chances de que un problema de nacional tenga una solución así son prácticamente nulas.
En este ejemplo quizás parece muy obvio, pero versiones más sutiles de este mismo error se ven todos los años. Muchas veces lo que pasa es que alguien comete un error al interpretar o leer un enunciado, lo cual nos lleva al siguiente consejo.

Sobre todo en un problema del Torneo, donde hubo vaya uno a saber cuántas traducciones del enunciado en el medio.

[sebach]

No entiendo algo...

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Coloreando $0$ casillas negras no se cumple lo pedido para cualquier valor de $k$ ?

Lo único que tengo para decir al respecto es esto:

6) Desconfiar de las soluciones "demasiado simples".
Muchas veces pasa que a uno se le ocurre una respuesta para un problema que lo vuelve extremadamente fácil, es decir que si esa fuera realmente la respuesta correcta entonces "no hay que hacer nada". Miremos por ejemplo este problema del nacional de 2012:

Para cada número natural $x$ sea $S(x)$ la suma de sus dígitos. Hallar el menor número natural $n$ tal que $9S(n) = 16S(2n)$.

A alguien se le podría ocurrir que, como la suma de dígitos de $0$ es $0$, y $2 \cdot 0 = 0$, es claro que $n=0$ cumple la ecuación que nos dan (queda $0$ de los dos lados), y obviamente no hay un número menor que funcione, así que la respuesta es $n=0$.
Por supuesto, este argumento no funciona porque el $0$ no es un número natural. Pero más allá de eso, uno debería poder intuir que las chances de que un problema de nacional tenga una solución así son prácticamente nulas.
En este ejemplo quizás parece muy obvio, pero versiones más sutiles de este mismo error se ven todos los años. Muchas veces lo que pasa es que alguien comete un error al interpretar o leer un enunciado, lo cual nos lleva al siguiente consejo.

Sobre todo en un problema del Torneo, donde hubo vaya uno a saber cuántas traducciones del enunciado en el medio.

Je no obvio que no hubiera mandado eso en el Torneo, sólo quería saber si estaba entendiendo mal algo del problema por lo que lo que decía no era cierto, o si es que faltaba la aclaración en el enunciado.

[Gianni De Rico]

Bueno, ahí me fijé y el enunciado en inglés pide pintar una cantidad positiva finita de casillas, así que efectivamente no podés pintar $0$ y listo.
Ya arreglé el enunciado acá.