Derivada de una potencia

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Yanes

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Carolina González
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Derivada de una potencia

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Sean
$f:\text{Dom}_1\subseteq \mathbb{R}\to \text{Im}_1\subseteq \mathbb{R} ~/~f(x)=x^n~/~n\in \mathbb{N}$
$f':\text{Dom}_2\subseteq \text{Dom}_1\to \text{Im}_2\subseteq \text{Im}_1~/~f'(x)=\lim \limits _{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$\Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$

Demostración:
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$f'(x)=\lim \limits _{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$f'(x)=\lim \limits _{h\to 0}\frac{ {(x+h)}^n-x^n}{h}$

Recordamos el Binomio de Newton:$$(a+b)^n=\sum \limits _{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$Aplicamos a nuestro caso
$f'(x)=\lim \limits _{h\to 0}\frac{\sum \limits _{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}h^k-x^n}{h}$
$f'(x)=\lim \limits _{h\to 0}\frac{\sum \limits _{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}h^k-x^n}{h}$
$f'(x)=\lim \limits _{h\to 0}\frac{\sum \limits _{k=2}^n\binom{n}{k}x^{n-k}h^k+\binom{n}{0}x^{n-0}h^0+\binom{n}{1}x^{n-1}h^1-x^n}{h}$
$f'(x)=\lim \limits _{h\to 0}\frac{\sum \limits _{k=2}^n\binom{n}{k}x^{n-k}h^k+x^n+nx^{n-1}h-x^n}{h}$
$f'(x)=\lim \limits _{h\to 0}\frac{\sum \limits _{k=2}^n\binom{n}{k}x^{n-k}h^k+nx^{n-1}h}{h}$
$f'(x)=\lim \limits _{h\to 0}\left(\frac{\sum \limits _{k=2}^n\binom{n}{k}x^{n-k}h^k}{h} + \frac{nx^{n-1}h}{h} \right)$
$f'(x)=\lim \limits _{h\to 0}\left(\sum \limits _{k=2}^n\binom{n}{k}\frac{x^{n-k}h^k}{h} + nx^{n-1} \right)$
$f'(x)=\lim \limits _{h\to 0}\left(\sum \limits _{k=2}^n\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k-1} + nx^{n-1} \right)$

El grado de $h$ dentro de la sumatoria es siempre positivo

$\Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$
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