Teorema del Sándwich para Límites

[Yanes]

Sean $f_i:\text{Dom}_i\subseteq \mathbb{R}\to \text{Im}_i\subseteq \mathbb{R}~/~f_1(x)\leq f_2(x)\leq f_3(x)\forall ~x\in[x_1; x_2]$
$\lim \limits _{x\to x_0}f_1(x)=\lim \limits _{x\to x_0}f_3(x)=L\Rightarrow \lim \limits _{x\to x_0}f_2(x)=L$

Demostración:

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Recordamos la definición de límite:
$\forall \varepsilon >0,~\exists ~\delta <0~/~0<|x-x_0|<\delta$
$\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ~/~f:\text{Dom}\subseteq \mathbb{R}\to \text{Im}\subseteq \mathbb{R}$
$\lim \limits _{x\to x_0}f(x)=L$
Aplicando a nuestro caso:
$|f_1(x)-L|<\varepsilon \Rightarrow \lim \limits _{x\to x_0}f_1(x)=L$
$|f_3(x)-L|<\varepsilon \Rightarrow \lim \limits _{x\to x_0}f_3(x)=L$
$|f_i(x)-L|<\varepsilon$
$-\varepsilon < f_i(x)-L <\varepsilon$
$L-\varepsilon < f_i(x) <L+\varepsilon$
$L-\varepsilon < f_1(x)\leq f_2(x)\leq f_3(x) <L+\varepsilon$
$L-\varepsilon < f_2(x) <L+\varepsilon$
$-\varepsilon < f_2(x)-L <\varepsilon$
$|f_2(x)-L|<\varepsilon \Rightarrow \lim \limits _{x\to x_0}f_2(x)=L$