Nacional 2004 - N1 P5

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
BrunZo

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Nacional 2004 - N1 P5

Mensaje sin leer por BrunZo »

Gabriel hace una lista de números con el siguiente procedimiento: el primer número es $2004$; el segundo lo elige Gabriel; el tercero es la resta del primero menos el segundo; el cuarto es la resta del segundo menos el tercero; el quinto es la resta del tercero menos el cuarto, y así siguiendo, cada número es la resta del anteúltimo menos el último de los que se escribieron hasta ese momento. El proceso se detiene cuando por primera vez Gabriel escriba un número negativo. Determinar qué número entero positivo debe elegir Gabriel como segundo número para que la secuencia tenga la mayor cantidad posible de números.
Peznerd
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Re: Nacional 2004 - N1 P5

Mensaje sin leer por Peznerd »

Fui probando y ordenaré con números romanos entre paréntesis mis proposiciones probadas y letras "i" minúscula y entre paréntesis mis conjeturas
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2004 1 2003 -2002
2004 2005 -1
2004 2004 0 -2004
2004 2006 -2

Llamamos $U$ al número que debe elegir gabriel ($I$)
$1 \leq U \leq 2004$ ($II$)

2004 2003 1 -2002
2004, U, 2004-U, U-(2004-U) = U + U - 2004

$U + U = 2U \geq 2004 \rightarrow U \geq 1002$ ($III$)

$U = \frac{2004+1002}{2} = 1503$ (i)

2004 1503 501 1002 -501
2004, U, (2004 - U), (U + U - 2004), (2004 - U) - (2U - 2004) = 2004 - U - 2U + 2004 = 4008 - 3U, (2 U - 2004) - (4008 - 3U) = 2U - 2004 - 4008 + 3U = 5U - 6012, 4008 + 6012 - 8U = 10020 - 8U, 13U - 16032, 26052 - 21U,

$U \leq \frac{4008}{3} = 1336$ ($IV$)
$\rightarrow$ (i) es falso
$U \geq \frac{6012}{5} = 1202,4$ ($V$)
$U \leq \frac{10020}{8} = 1252,5$ ($VI$)
$U \geq \frac{16032}{13} = 1233$ ($VII$)
$U \leq \frac{26052}{21} = 1240$ ($VIII$)
$U \geq \frac{42084}{34} = 1237$ ($IX$)
$U \leq \frac{68136}{55} = 1238$ ($X$)
$U \geq \frac{110220}{89} = 1238$ ($XI$)

De ($I$), ($X$) y de ($XI$) sacamos fácilmente que $U = 1238$.
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Fibonacci, are you here?
Una curiosidad, es que para sacar el $n + 2$ -ésimo término de la lista de Gabi hacemos $2004 f + (f+1)U$ si $n + 2$ es impar o bien $(f+1)U-2004f$ si $n + 2$ es par, de donde $f$ es el $n$-ésimo número de la sucesión de Fibonacci.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$
MathIQ
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Re: Nacional 2004 - N1 P5

Mensaje sin leer por MathIQ »

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Denominemos x al número que debe elegir Gabriel para que la secuencia tenga la mayor cantidad posible de números.
Para que la secuencia sea más larga entonces : $1002\leq x$$\geq 2004$(ya que de esta manera llegará hasta por lo menos 5 números).
Después de probar obtuve que: $1200\leq x $$\geq 1250$
Entonces seguí probando así:
Como 1225 me dió mayor secuencia de números que 1200 entonces:$1225\leq x $$\geq 1250$
Pasé al 1250 que me dió mayor a 1225 entones x está más cerca de 1250 que a 1225 entonces entonces:$1238\leq x $$\geq 1250$.
Probé con los 12 números posibles , ya que al 1250 ya lo había probado y obtuve que:$$x=1238$$
Quedando la secuencia de la siguiente manera:
1_2004
2_1238
3_766
4_472
5_294
6_178
7_116
8_62
9_54
10_8
11_ 46
12_-38
:D
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