Beto tiene un melón esférico de diámetro $20$ al que le hace tres cortes perpendiculares, cada uno de profundidad $h$.
Decidir si es cierto que el melón se rompe en dos o más partes si
a) $h=17$.
b) $h=18$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
Vamos a ver que si $h=17$ el melón puede quedar en una sola parte pero que para $h=18$ sí o sí queda partido en al menos dos partes.
Tres planos perpendiculares parten al melón en $8$ octantes como se ve en la siguiente figura. Cada uno está delimitado por tres caras que son cuartos de círculo y una cara que es un octavo de la superficie del melón.
base1.png
En la siguiente figura se ve lo que ocurre al hacer cada corte:
corte.png
La medialuna coloreada con verde conecta algunos de los octantes. Las tres medialunas correspondientes a los tres cortes son lo único que mantiene unidos distintos octantes.
Podemos considerar un cubo donde los vértices corresponden a los octantes y una arista une dos vértices si los octantes comparten una cara como en la siguiente figura. A la derecha vemos algunas posibles medialunas y a la izquierda las aristas correspondientes a los octantes que conectan.
octantes y cubo.png
Los vértices naranjas son los octantes. Cada medialuna aporta algunas aristas al cubo, correspondientes a los octantes que conecta. Notemos que el melón queda en una sola parte si y solamente si estas aristas conectan los $8$ vértices del cubo.
Una medialuna que no comprende ningún vértice negro aporta una arista al cubo.
Una medialuna que comprende exactamente un vértice negro $v$ aporta dos aristas al cubo (acá hay una sutileza un poco difícil de explicar: si la medialuna correspondiente al otro corte cuyo plano pasa por $v$ también comprende a $v$, entonces cada una de esas dos medialunas aporta $4$ aristas. Pero ambas aportan las mismas y es como si cada una aportara dos aristas).
Por lo tanto si ninguna medialuna comprende dos vértices negros en total las tres medialunas aportan a lo sumo $6$ aristas al cubo. Pero el cubo tiene $8$ vértices naranjas y entonces necesitamos al menos $7$ aristas para conectar todos los vértices. Por lo tanto para que el melón quede en una sola parte una medialuna tiene que comprender dos vértices.
Ahora consideremos tres vértices negros $u$, $v$, $w$ uno en cada eje (rojo, azul y verde). Llamamos $w'$ al otro vértice del eje verde. Si las medialunas $m_1$, $m_2$, $m_3$ comprenden los vértices $\{u,v\}$, $\{u,w\}$, $\{v,w'\}$ respectivamente entonces el melón queda en una sola pieza.
Por lo tanto solamente falta hallar $h_0$, el mayor valor de $h$ que permite que una medialuna comprenda dos vértices negros.
Para esto es útil la siguiente figura:
cuentita.png
El radio del melon es $\frac{20}{2}=10$. Notemos que, por Pitágoras, dos vértices negros en ejes distintos están a distancia $\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}$. Ahora considerando la potencia del punto medio del segmento que conecta dos vértices negros tenemos
$$\left(\frac{10\sqrt{2}}{2}\right)^2 = h(20-h)$$
y por lo tanto $h_0= 5(2+\sqrt{2})=17,07...$.
Por lo tanto para $h=17$ concluimos que es posible lograr que el melón quede en una sola parte pero que para $h=18$ el melón queda en al menos dos partes.
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