Un mago y su asistente realizan el siguiente truco. Hay $12$ cajas vacías y cerradas en una fila. El mago abandona la habitación y una persona del público elige dos cajas y esconde en cada una de ellas una moneda, dejando la fila en la misma forma en la que estaba, pero el asistente conoce cuáles son las dos cajas que tienen monedas. El mago regresa a la habitación y el asistente puede abrir una caja que se encuentre vacía. A continuación, el mago elige cuatro cajas que se abren simultáneamente. El objetivo del mago es que entre esas cuatro cajas estén las dos que contienen monedas.
Desarrollar un método que les permita al mago y su asistente conseguir siempre el objetivo del mago.
El problema era horrible. El truco es hacer corresponder a cada una de las $12$ cajas que puede abrir el asistente una combinación de $4$ cajas, de modo que, dependiendo de las cajas que elija la persona del público, el asistente pueda seleccionar una caja que corresponda a cuatro cajas dentro de las cuales están las dos con monedas. El ejemplo es bastante feo y hallarlo es algo más bien tedioso.
El problema era horrible. El truco es hacer corresponder a cada una de las $12$ cajas que puede abrir el asistente una combinación de $4$ cajas, de modo que, dependiendo de las cajas que elija la persona del público, el asistente pueda seleccionar una caja que corresponda a cuatro cajas dentro de las cuales están las dos con monedas. El ejemplo es bastante feo y hallarlo es algo más bien tedioso.
A mí el problema me fascinó. Me encantaría ver la solución, yo llegué a lo que vos decís pero no se me ocurría una combinación que satisfaciera todos los casos posibles. Probé muchas cosas, como de izquierda a derecha, de derecha a izquierda, del medio pa fuera, con pares, con congruencias módulo $2$ ó $3$ ó $4$ ó $5$ ó $6$ y nada de nada.
Veamos primero que si el asistente tiene que abrir una de las $12$ cajas sí o sí entonces no existe un método que le permita al mago encontrar las dos monedas abriendo cuatro cajas.
Si hay $12$ cajas y el participante del público esconde una moneda en dos de ellas entonces hay $66$ combinaciones posibles ($\frac{11\times 12}{2}$). El asistente que sabe donde están las monedas puede abrir una caja y de esta manera mandarle un mensaje al mago diciéndole que $4$ cajas abrir. Cada mensaje del asistente al mago cubre $6$ de las posibles $66$ combinaciones. El problema que encontramos es que necesariamente hay combinaciones que se repiten en diferentes mensajes y entonces con $12$ señales es imposible cubrir las $66$ combinaciones posibles.
Sin pérdida de generalidad supongamos que el mensaje $M(1)$ le dice al mago que hay que abrir las cajas $1$, $2$, $3$ y $4$ o sea $M(1)=\{1,2,3,4\}$, y que $M(2)=\{5,6,7,8\}$ y $M(3)=\{9,10,11,12\}$. Cada uno de estos mensajes cubre $6$ de los $66$ casos posibles y entre los tres cubren un total de $18$ casos ya que no tienen elementos en común. Es trivial notar que todos los demás mensajes tienen dos elementos en común con alguno de los tres primeros mensajes y por lo tanto los mensaje $4$ a $12$ solamente pueden descartar $5$ casos como máximo cada uno. En conclusión, si solo se pueden enviar $12$ mensajes, el número de casos que podemos cubrir es menor o igual a $6\times 3+5\times 9=63$.
Veamos ahora que si al asistente le dejamos la posibilidad de no abrir una caja entonces ahora hay $13$ mensajes posibles y el numero de casos que se pueden cubrir es menor o igual a $68$.
Veamos primero que si el asistente tiene que abrir una de las $12$ cajas sí o sí entonces no existe un método que le permita al mago encontrar las dos monedas abriendo cuatro cajas.
Si hay $12$ cajas y el participante del público esconde una moneda en dos de ellas entonces hay $66$ combinaciones posibles ($\frac{11\times 12}{2}$). El asistente que sabe donde están las monedas puede abrir una caja y de esta manera mandarle un mensaje al mago diciéndole que $4$ cajas abrir. Cada mensaje del asistente al mago cubre $6$ de las posibles $66$ combinaciones. El problema que encontramos es que necesariamente hay combinaciones que se repiten en diferentes mensajes y entonces con $12$ señales es imposible cubrir las $66$ combinaciones posibles.
Sin pérdida de generalidad supongamos que el mensaje $M(1)$ le dice al mago que hay que abrir las cajas $1$, $2$, $3$ y $4$ o sea $M(1)=\{1,2,3,4\}$, y que $M(2)=\{5,6,7,8\}$ y $M(3)=\{9,10,11,12\}$. Cada uno de estos mensajes cubre $6$ de los $66$ casos posibles y entre los tres cubren un total de $18$ casos ya que no tienen elementos en común. Es trivial notar que todos los demás mensajes tienen dos elementos en común con alguno de los tres primeros mensajes y por lo tanto los mensaje $4$ a $12$ solamente pueden descartar $5$ casos como máximo cada uno. En conclusión, si solo se pueden enviar $12$ mensajes, el número de casos que podemos cubrir es menor o igual a $6\times 3+5\times 9=63$.
Veamos ahora que si al asistente le dejamos la posibilidad de no abrir una caja entonces ahora hay $13$ mensajes posibles y el numero de casos que se pueden cubrir es menor o igual a $68$.
Veamos primero que si el asistente tiene que abrir una de las $12$ cajas sí o sí entonces no existe un método que le permita al mago encontrar las dos monedas abriendo cuatro cajas.
Si hay $12$ cajas y el participante del público esconde una moneda en dos de ellas entonces hay $66$ combinaciones posibles ($\frac{11\times 12}{2}$). El asistente que sabe donde están las monedas puede abrir una caja y de esta manera mandarle un mensaje al mago diciéndole que $4$ cajas abrir. Cada mensaje del asistente al mago cubre $6$ de las posibles $66$ combinaciones. El problema que encontramos es que necesariamente hay combinaciones que se repiten en diferentes mensajes y entonces con $12$ señales es imposible cubrir las $66$ combinaciones posibles.
Sin pérdida de generalidad supongamos que el mensaje $M(1)$ le dice al mago que hay que abrir las cajas $1$, $2$, $3$ y $4$ o sea $M(1)=\{1,2,3,4\}$, y que $M(2)=\{5,6,7,8\}$ y $M(3)=\{9,10,11,12\}$. Cada uno de estos mensajes cubre $6$ de los $66$ casos posibles y entre los tres cubren un total de $18$ casos ya que no tienen elementos en común. Es trivial notar que todos los demás mensajes tienen dos elementos en común con alguno de los tres primeros mensajes y por lo tanto los mensaje $4$ a $12$ solamente pueden descartar $5$ casos como máximo cada uno. En conclusión, si solo se pueden enviar $12$ mensajes, el número de casos que podemos cubrir es menor o igual a $6\times 3+5\times 9=63$.
Veamos ahora que si al asistente le dejamos la posibilidad de no abrir una caja entonces ahora hay $13$ mensajes posibles y el numero de casos que se pueden cubrir es menor o igual a $68$.
donde la primer número es el número de caja que abre el asistente y los otros $4$ son las cajas que abre el mago.
Esta solución parecería estar un poquito mal. No sé si es que el asistente no puede no abrir una caja. Lo que dice el enunciado es que el asistente abre una caja que no tiene moneda
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
Hola! El problema sigue admitiendo una solución si el asistente tiene que sí o sí abrir una caja vacía. Veamos primero una posible estrategia y luego busquemos qué error hay en la demostración de @alerodri1976.
Si el asistente abre la $1$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $3,4,5,12$;
Si el asistente abre la $2$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $3,4,6,11$;
Si el asistente abre la $3$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $1,5,6,7$;
Si el asistente abre la $4$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $2,5,6,8$;
Si el asistente abre la $5$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $3,7,8,9$;
Si el asistente abre la $6$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $4,7,8,10$;
Si el asistente abre la $7$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $5,9,10,11$;
Si el asistente abre la $8$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $6,9,10,12$;
Si el asistente abre la $9$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $1,8,11,12$;
Si el asistente abre la $10$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $2,7,11,12$;
Si el asistente abre la $11$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $1,2,3,10$;
Si el asistente abre la $12$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $1,2,4,9$.
Para que este método funcione, necesitamos que para cualquier par de cajas haya al menos una de estas $12$ posibilidades que provoca que ambas cajas sean abiertas. La verificación es muy aburrida y se hace caso por caso. Pueden ayudarse con la siguiente tabla que sirve como "instrucciones" para el asistente:
@alerodri1976 prueba -correctamente- que si hay 3 "mensajes" que no tienen cajas en común entonces nunca se van a poder cubrir más de $63$ combinaciones, cuando la cantidad que necesitamos es $66$.
Sin embargo, la suposición
alerodri1976 escribió: ↑Lun 02 Mar, 2020 5:27 pm
Sin pérdida de generalidad supongamos que el mensaje $M(1)$ le dice al mago que hay que abrir las cajas $1$, $2$, $3$ y $4$ o sea $M(1)=\{1,2,3,4\}$, y que $M(2)=\{5,6,7,8\}$ y $M(3)=\{9,10,11,12\}$.
no puede hacerse; no tiene por qué pasar que haya tres mensajes sin elementos en común. Más aún, pueden verificar que en el ejemplo de la solución de arriba cualquier par de mensajes tienen al menos una caja en común! Es interesante porque no repetir elementos parecería ser la mejor forma de cubrir más posibilidades, sin embargo acá la intuición nos juega una mala pasada.
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We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore! Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Matías V5 escribió: ↑Mar 07 Feb, 2023 4:05 pm
Hola! El problema sigue admitiendo una solución si el asistente tiene que sí o sí abrir una caja vacía. Veamos primero una posible estrategia y luego busquemos qué error hay en la demostración de @alerodri1976.
Si el asistente abre la $1$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $3,4,5,12$;
Si el asistente abre la $2$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $3,4,6,11$;
Si el asistente abre la $3$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $1,5,6,7$;
Si el asistente abre la $4$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $2,5,6,8$;
Si el asistente abre la $5$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $3,7,8,9$;
Si el asistente abre la $6$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $4,7,8,10$;
Si el asistente abre la $7$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $5,9,10,11$;
Si el asistente abre la $8$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $6,9,10,12$;
Si el asistente abre la $9$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $1,8,11,12$;
Si el asistente abre la $10$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $2,7,11,12$;
Si el asistente abre la $11$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $1,2,3,10$;
Si el asistente abre la $12$ $\Rightarrow$ el mago abre las cajas $1,2,4,9$.
Para que este método funcione, necesitamos que para cualquier par de cajas haya al menos una de estas $12$ posibilidades que provoca que ambas cajas sean abiertas. La verificación es muy aburrida y se hace caso por caso. Pueden ayudarse con la siguiente tabla que sirve como "instrucciones" para el asistente:
@alerodri1976 prueba -correctamente- que si hay 3 "mensajes" que no tienen cajas en común entonces nunca se van a poder cubrir más de $63$ combinaciones, cuando la cantidad que necesitamos es $66$.
Sin embargo, la suposición
alerodri1976 escribió: ↑Lun 02 Mar, 2020 5:27 pm
Sin pérdida de generalidad supongamos que el mensaje $M(1)$ le dice al mago que hay que abrir las cajas $1$, $2$, $3$ y $4$ o sea $M(1)=\{1,2,3,4\}$, y que $M(2)=\{5,6,7,8\}$ y $M(3)=\{9,10,11,12\}$.
no puede hacerse; no tiene por qué pasar que haya tres mensajes sin elementos en común. Más aún, pueden verificar que en el ejemplo de la solución de arriba cualquier par de mensajes tienen al menos una caja en común! Es interesante porque no repetir elementos parecería ser la mejor forma de cubrir más posibilidades, sin embargo acá la intuición nos juega una mala pasada.
