Regional 2011 - N1 P2
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Un polígono regular de [math] lados tiene sus vértices numerados del [math] al [math] en el sentido de las agujas del reloj. Un grillo realiza sucesivos saltos entre vértices: Si el número del que sale no es una potencia de [math], salta en el sentido de las agujas del reloj por encima de [math] vértices consecutivos y cae en el quinto (por ejemplo, si está en el vértice [math] salta hasta el vértice [math]), y si el número del vértice del que sale es una potencia de [math], salta en contra del sentido del reloj dos vértices y cae en el tercero (por ejemplo, si está en el vértice [math], retrocede hasta el vértice [math]).
Si el grillo inicia su viaje en el vértice con el número [math], decidir si puede, mediante saltos sucesivos, llegar al vértice
a) [math]
b) [math]
Si la respuesta en si, hallar la cantidad de saltos que debe dar el grillo para llegar por primera vez al vértice [math] y si la respuesta es no, explicar por qué.
NOTA: Las potencias de [math] son [math], etc.
Si el grillo inicia su viaje en el vértice con el número [math], decidir si puede, mediante saltos sucesivos, llegar al vértice
a) [math]
b) [math]
Si la respuesta en si, hallar la cantidad de saltos que debe dar el grillo para llegar por primera vez al vértice [math] y si la respuesta es no, explicar por qué.
NOTA: Las potencias de [math] son [math], etc.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]
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AgustinChenna.
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Re: Regional 2011 - N1 P2
Denotamos las potencias de 3 que afectan al viaje de nuestro querido grillo:
3´2=9
3´3=27
3´4=81
3´5=243
3´6=729
Fijemos que, si el grillo empieza en 4, directamente pasa al V=9=3´2 -> Vuelve a 6, y de vuelta hace su camino. Es facil ver que, al ser saltos de a 5, la ultima cifra siempre sera igual, en este caso, la cifra sera igual a {1,6}. Entonces el grillo recorrera todos los numeros ab con b = {1,6}. Tenemos una potencia de 3 que termina en 1: 81=3´4, por lo que en 81, el grillo pasara a V=78 y luego a V=83. Con el mismo razonamiento que el anterior, el grillo se encontrara de vuelta en una potencia de 3 terminada en 3, V=243=3´5. Luego volvera a 240, luego a 245 y asi por todos los numeros cuya ultima cifra es = {0,5} por lo que no se encontrara con 3´6 y llegara sin problemas a V=1000. Analogamente (siempre quise usar esa palabra xd) vemos que en V=198 pasa a V=203. Ademas, luego de dar la primera vuelta, el grillo solo se movera por numeros de la forma 5k, y hasta el 2000 no hay un numero que satisface 5k=3^n
3´2=9
3´3=27
3´4=81
3´5=243
3´6=729
Fijemos que, si el grillo empieza en 4, directamente pasa al V=9=3´2 -> Vuelve a 6, y de vuelta hace su camino. Es facil ver que, al ser saltos de a 5, la ultima cifra siempre sera igual, en este caso, la cifra sera igual a {1,6}. Entonces el grillo recorrera todos los numeros ab con b = {1,6}. Tenemos una potencia de 3 que termina en 1: 81=3´4, por lo que en 81, el grillo pasara a V=78 y luego a V=83. Con el mismo razonamiento que el anterior, el grillo se encontrara de vuelta en una potencia de 3 terminada en 3, V=243=3´5. Luego volvera a 240, luego a 245 y asi por todos los numeros cuya ultima cifra es = {0,5} por lo que no se encontrara con 3´6 y llegara sin problemas a V=1000. Analogamente (siempre quise usar esa palabra xd) vemos que en V=198 pasa a V=203. Ademas, luego de dar la primera vuelta, el grillo solo se movera por numeros de la forma 5k, y hasta el 2000 no hay un numero que satisface 5k=3^n
Última edición por AgustinChenna. el Sab 17 Sep, 2011 12:41 am, editado 1 vez en total.
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Re: Regional 2011 - N1 P2
sólo faltaría decir el número de pasos, si retrocede los 9 al principio queda en -5, de ahí hasta el 1000 son 1005/5 = 201 pasos más los 3 que retrocedío = 204 saltosAgustinChenna. escribió:Denotamos las potencias de 3 que afectan al viaje de nuestro querido grillo:
3´2=9
3´3=27
3´4=81
3´5=243
3´6=729
Fijemos que, si el grillo empieza en 4, directamente pasa al V=9=3´2 -> Vuelve a 6, y de vuelta hace su camino. Es facil ver que, al ser saltos de a 5, la ultima cifra siempre sera igual, en este caso, la cifra sera igual a {1,6}. Entonces el grillo recorrera todos los numeros ab con b = {1,6}. Tenemos una potencia de 3 que termina en 1: 81=3´4, por lo que en 81, el grillo pasara a V=78 y luego a V=83. Con el mismo razonamiento que el anterior, el grillo se encontrara de vuelta en una potencia de 3 terminada en 3, V=243=3´5. Luego volvera a 240, luego a 245 y asi por todos los numeros cuya ultima cifra es = {0,5} por lo que no se encontrara con 3´6 y llegara sin problemas a V=1000. Analogamente (siempre quise usar esa palabra xd) Vemos que en V=198 pasa a V=203,
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AgustinChenna.
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Re: Regional 2011 - N1 P2
Si, la verdad que muy estupido de mi parte, me saltee esa parte y no la hice. Me acostumbre tanto al, si es posible dar un ejemplo si no explicar porque que di por sobreentendido esa parte y al final no era dar un ejemplo
Re: Regional 2011 - N1 P2
genial, creo que lo hice bien! Alguien se acuerda cuantos saltos debia dar el grillo has llegar al vertice 1000??
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Re: Regional 2011 - N1 P2
lo escribio deku, son 204 saltos hasta el 1000deku escribió:sólo faltaría decir el número de pasos, si retrocede los 9 al principio queda en -5, de ahí hasta el 1000 son 1005/5 = 201 pasos más los 3 que retrocedío = 204 saltos
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FelipeGigena
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