Regional 2011 - N1 P2

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Caro - V3

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Regional 2011 - N1 P2

Mensaje sin leer por Caro - V3 »

Un polígono regular de [math] lados tiene sus vértices numerados del [math] al [math] en el sentido de las agujas del reloj. Un grillo realiza sucesivos saltos entre vértices: Si el número del que sale no es una potencia de [math], salta en el sentido de las agujas del reloj por encima de [math] vértices consecutivos y cae en el quinto (por ejemplo, si está en el vértice [math] salta hasta el vértice [math]), y si el número del vértice del que sale es una potencia de [math], salta en contra del sentido del reloj dos vértices y cae en el tercero (por ejemplo, si está en el vértice [math], retrocede hasta el vértice [math]).
Si el grillo inicia su viaje en el vértice con el número [math], decidir si puede, mediante saltos sucesivos, llegar al vértice
a) [math]
b) [math]
Si la respuesta en si, hallar la cantidad de saltos que debe dar el grillo para llegar por primera vez al vértice [math] y si la respuesta es no, explicar por qué.
NOTA: Las potencias de [math] son [math], etc.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]
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AgustinChenna.

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Re: Regional 2011 - N1 P2

Mensaje sin leer por AgustinChenna. »

Denotamos las potencias de 3 que afectan al viaje de nuestro querido grillo:

3´2=9
3´3=27
3´4=81
3´5=243
3´6=729

Fijemos que, si el grillo empieza en 4, directamente pasa al V=9=3´2 -> Vuelve a 6, y de vuelta hace su camino. Es facil ver que, al ser saltos de a 5, la ultima cifra siempre sera igual, en este caso, la cifra sera igual a {1,6}. Entonces el grillo recorrera todos los numeros ab con b = {1,6}. Tenemos una potencia de 3 que termina en 1: 81=3´4, por lo que en 81, el grillo pasara a V=78 y luego a V=83. Con el mismo razonamiento que el anterior, el grillo se encontrara de vuelta en una potencia de 3 terminada en 3, V=243=3´5. Luego volvera a 240, luego a 245 y asi por todos los numeros cuya ultima cifra es = {0,5} por lo que no se encontrara con 3´6 y llegara sin problemas a V=1000. Analogamente (siempre quise usar esa palabra xd) vemos que en V=198 pasa a V=203. Ademas, luego de dar la primera vuelta, el grillo solo se movera por numeros de la forma 5k, y hasta el 2000 no hay un numero que satisface 5k=3^n
Última edición por AgustinChenna. el Sab 17 Sep, 2011 12:41 am, editado 1 vez en total.
deku
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Re: Regional 2011 - N1 P2

Mensaje sin leer por deku »

AgustinChenna. escribió:Denotamos las potencias de 3 que afectan al viaje de nuestro querido grillo:

3´2=9
3´3=27
3´4=81
3´5=243
3´6=729

Fijemos que, si el grillo empieza en 4, directamente pasa al V=9=3´2 -> Vuelve a 6, y de vuelta hace su camino. Es facil ver que, al ser saltos de a 5, la ultima cifra siempre sera igual, en este caso, la cifra sera igual a {1,6}. Entonces el grillo recorrera todos los numeros ab con b = {1,6}. Tenemos una potencia de 3 que termina en 1: 81=3´4, por lo que en 81, el grillo pasara a V=78 y luego a V=83. Con el mismo razonamiento que el anterior, el grillo se encontrara de vuelta en una potencia de 3 terminada en 3, V=243=3´5. Luego volvera a 240, luego a 245 y asi por todos los numeros cuya ultima cifra es = {0,5} por lo que no se encontrara con 3´6 y llegara sin problemas a V=1000. Analogamente (siempre quise usar esa palabra xd) Vemos que en V=198 pasa a V=203,
sólo faltaría decir el número de pasos, si retrocede los 9 al principio queda en -5, de ahí hasta el 1000 son 1005/5 = 201 pasos más los 3 que retrocedío = 204 saltos
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AgustinChenna.

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Re: Regional 2011 - N1 P2

Mensaje sin leer por AgustinChenna. »

Si, la verdad que muy estupido de mi parte, me saltee esa parte y no la hice. Me acostumbre tanto al, si es posible dar un ejemplo si no explicar porque que di por sobreentendido esa parte y al final no era dar un ejemplo :?
Ro Comito
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Re: Regional 2011 - N1 P2

Mensaje sin leer por Ro Comito »

genial, creo que lo hice bien! Alguien se acuerda cuantos saltos debia dar el grillo has llegar al vertice 1000??
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vxncg0osdj
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Re: Regional 2011 - N1 P2

Mensaje sin leer por vxncg0osdj »

deku escribió:sólo faltaría decir el número de pasos, si retrocede los 9 al principio queda en -5, de ahí hasta el 1000 son 1005/5 = 201 pasos más los 3 que retrocedío = 204 saltos
lo escribio deku, son 204 saltos hasta el 1000
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magnus

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Re: Regional 2011 - N1 P2

Mensaje sin leer por magnus »

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a) Comenzamos desde el 4 que como no es potencia de tres le sumamos 5 y 4+5=9 que es potencia de 3 entonces hacemos 9-3=6 que no es potencia de 3 entonces le sumamos 5 y da 11 y así siempre se le suma 5. Cómo 6 es congruente a 1 módulo 5 entonces si seguimos sumando de a 5 por suma de módulos siempre va a ser congruente a 1 módulo 5.
La primera potencia de tres que sigue congruente a 1 módulo 5 es 81 que le restamos 3 y nos da 78 que no es potencia de 3. Seguimos con la misma lógica, está vez 78 es congruente a 3 módulo 5 y como se suma de a 5 por suma de módulos siempre va a ser congruente a 3 módulo 5 . La siguiente potencia de 3 congruente a 3 módulo 5 es 243, le restamos 3 y da 240 que es congruente a 0 módulo 5. cómo de 240 a 1000 no hay potencia de 3 congruente a 0 módulo y 1000 es congruente a 0 módulo 5 entonces se puede llegar al 1000.

b) Vamos a tener que rehacer una parte del a :(.
Comenzamos en el número 4 y sumamos 5 por no ser potencia de 3 y pasamos a 9 que si es potencia de 3 entonces restamos 3 y da 6 y vamos sumando de a 5 hasta una potencia congruente a 1 módulo 5 como vimos en el a. Llegamos a al 81 que es congruente a 1 módulo 5 y le restamos 3 y nos da 78 q es congurente a tres módulo 5 y la siguiente potencia de 3 congurente a 3 módulo 5 es 243, le restamos 3 y nos da 240 que es congruente a 0 módulo 3. Acá tenemos dos conceptos de por qué no se puede con 201:
•Una potencia de 3 nunca va a ser congruente a 0 módulo 5: para que n sea congruente a 0 módulo 5 n tiene que tener como factor primo 5 y las potencias de tres tienen un solo factor primo: 3. Entonces como no podemos meter el factor 5 en las potencias de 3 no pueden ser congruente a 0 módulo 5 las potencias de 5.

•2000 es congurente a 0 módulo 5: como ya quedamos en la configuración de 0 módulo 5 entonces como la rueda es de 2000 que es congruente a 0 módulo 5 entonces nos da justo. en 2000 hay 400 grupitos de 5 entonces del punto 2000 se pasa al punto 5 y así. cómo 5 es congurente a 0 módulo 5 se llega al 2000 por lo de las potencias de 3 que ya dijimos . Y bueno, no varía, queda en 0 módulo 5.

Por quedar en 0 módulo 5 y 201 ser congruente a 1 módulo 5 no se puede.
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estudiar es temporal, la play es ETERNA
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FelipeGigena

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Re: Regional 2011 - N1 P2

Mensaje sin leer por FelipeGigena »

Spoiler: mostrar
$a)$

Podemos describir la trayectoria del grillo con esta ecuación:
$4 + 5a - 3b$

$4$ es el vértice donde el grillo comienza.
$a$ es el número de veces que el grillo no se encuentra con una potencia de $3$.
$b$ es el número de veces que el grillo se encuentra con una potencia de $3$.

Notemos que las potencias de $3$ con las que se puede cruzar el grillo son las comprendidas entre $1$ y $2000$, pues el polígono tiene $2000$ vértices:
$3^n$ $\in$ {$3; 9; 27; 81; 243; 729$}

Ahora, podemos ir probando que resultados nos da la ecuación para ver si el grillo en algún momento cae en el vértice $1000$:

$4 + 5 * 0 - 3 * 0 = 4$
$4 + 5 * 1 - 3 * 0 = 9$ $\to$ como $9$ es una potencia de $3$, sumamos $b$.
$4 + 5 * 1 - 3 * 1 = 6$
$...$
$4 + 5 * 16 - 3 * 1 = 81$
$4 + 5 * 16 - 3 * 2 = 78$
$...$
$4 + 5 * 49 - 3 * 2 = 243$
$4 + 5 * 49 - 3 * 3 = 240$

Como $240$ es congruente a $0$ en módulo $5$ y no hay potencias de $3$ congruentes a $0$ en módulo $5$ (si una potencia de $3$ fuera $0$ en módulo $5$ tendría que tener un $5$ en su descomposición factorial, cosa que obviamente no se cumple), todos los números de ahora en adelante serán $0$ en módulo $5$. Como $1000$ es congruente a $0$ en módulo $5$, eventualmente el grillo legará al vértice $1000$.

$4 + 5 * 201 - 3 * 3 = 1000$
Spoiler: mostrar
$b)$

Partiendo desde el vértice $1000$, el cual el grillo puede llegar debido a que lo demostramos en la parte $a)$, notemos lo siguiente:
$1000$ $\equiv$ $0(5)$
$1000 + 5$ $\equiv$ $0 + 5 (5)$ $\equiv$ $0(5)$

Siempre que sumemos $5$ nos devolverá un número congruente a $0(5)$. De este modo, el grillo puede seguir y seguir avanzando hasta el $2000$, pues no se encontrará ninguna potencia de $3$ debido a que ninguna posee un $5$ en su descomposición factorial, por obvias razones.
Llegado al $2000$, el grillo salta hacia el $5$ el cual es $0(5)$. Por el mismo argumento mencionado anteriormente podemos decir que jamás se cruzara con una potencia de $3$.

$201$ $\equiv$ $1(5)$, por lo tanto el grillo jamás pasará por el vértice $201$.
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MEDIO EQUILÁTERO?
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