Dados $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ números reales, demostrar que existe un número real $y$ tal que$$\{y-x_1\}+\{y-x_2\}+\cdots +\{y-x_n\}\leq \frac{n-1}{2}.$$
Veremos que hay algún $1\leq i\leq n$ tal que $y=x_i$ cumple, viendo que el promedio de las sumas esas al tomar $y=\{x_1,x_2,\ldots ,x_n\}$ es menor o igual que $\frac{n-1}{2}$.
Primero que nada:
Para $a$ real, $\{a\}+\{-a\}<2$. Además, $\{a\}+\{-a\}=a-\lfloor a\rfloor +(-a)-\lfloor -a\rfloor =-\lfloor a \rfloor -\lfloor -a\rfloor \in \mathbb{Z}$. Luego $\{a\}+\{-a\}\leq 1$.