Entrenamiento Cono 2018 P29

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Joacoini

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Entrenamiento Cono 2018 P29

Mensaje sin leer por Joacoini »

Dados $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ números reales, demostrar que existe un número real $y$ tal que$$\{y-x_1\}+\{y-x_2\}+\cdots +\{y-x_n\}\leq \frac{n-1}{2}.$$
NO HAY ANÁLISIS.
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Sandy

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P29

Mensaje sin leer por Sandy »

Spoiler: mostrar
Veremos que hay algún $1\leq i\leq n$ tal que $y=x_i$ cumple, viendo que el promedio de las sumas esas al tomar $y=\{x_1,x_2,\ldots ,x_n\}$ es menor o igual que $\frac{n-1}{2}$.

Primero que nada:
Para $a$ real, $\{a\}+\{-a\}<2$. Además, $\{a\}+\{-a\}=a-\lfloor a\rfloor +(-a)-\lfloor -a\rfloor =-\lfloor a \rfloor -\lfloor -a\rfloor \in \mathbb{Z}$. Luego $\{a\}+\{-a\}\leq 1$.

Ahora sí:$$\frac{\sum \limits _{i=1}^n\sum \limits _{j=1}^n\{x_i-x_j\}}{n}=\frac{\sum \limits _{1\leq i<j\leq n}\{x_i-x_j\}+\{x_j-x_i\}}{n}\leq \frac{\sum \limits _{1\leq i<j\leq n}1}{n}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n}=\frac{n-1}{2}.$$
1  
Fallo inapelable.
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