Nacional 2017 N1 P3

[Gianni De Rico]

En un tablero de $16\times 16$ se numeran sus filas de arriba hacia abajo con los números enteros del $1$ al $16$ y se numeran sus columnas de izquierda a derecha con los números enteros del $1$ al $16$. Luego se escribe un número en cada casilla del tablero con la siguiente regla:
En la casilla de la fila $i$ y la columna $j$ se escribe el número $i\cdot j$. Por ejemplo, en la casilla de la fila $5$ y la columna $3$ se escribe el número $15$. La operación permitida consiste en elegir dos o más filas del tablero, elegir dos o más columnas y borrar todos los números que están en la intersección de una fila y una columna elegidas.

a) Determinar si se pueden elegir las filas y columnas para que la suma de todos los números borrados sea un número primo.
b) Determinar si se pueden elegir las filas y columnas para que la suma de todos los números que no se borraron sea un número primo.

[Gianni De Rico]

a)

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Notemos que en cada fila $i$ que elegimos, sin importar cuáles sean los números, podemos sacar factor común $i$, entonces, como el número en cada casilla es $i\cdot j$, la suma de los números que borramos en cada fila es $i\cdot c$, poniendo $c=\text{suma de los números de las columnas elegidas}$. Como las columnas elegidas son las mismas para todas las filas, cuando sumamos los números que borramos de todas las filas podemos sacar factor común $c$ y nos queda $f\cdot c$, poniendo $f=\text{suma de los números de las filas elegidas}$. Como tenemos que elegir dos o más filas y dos o más columnas, ni $f$ ni $c$ pueden ser iguales a $1$, por lo tanto, $f\cdot c$ es un número compuesto, pero habíamos dicho que $f\cdot c$ es la suma de los números borrados. Entonces no se pueden elegir las filas y columnas para que la suma de todos los números borrados sea un número primo.

Aclaración: La $\text{suma de los números de las columnas elegidas}$ no es la suma de los que hay en cada columna, sino la suma del número que tiene asignado cada columna. Por ejemplo, si elegimos las columnas $3,7,11$, entonces $\text{suma de los números de las columnas elegidas}=3+7+11=21$. Lo mismo para las filas.

b)

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Si elegimos las columnas desde la $2$ hasta la $16$ y las filas desde la $2$ hasta la $16$, los números borrados van a ser todos los que no estén en la primera casilla de cada fila, desde la fila $2$ en adelante, en otras palabras, los únicos números que no vamos a borrar son los de la primera fila y los de la primera columna. Entonces, el tablero nos queda así:

Nacional 2017 N1 P3.png

La primer fila tiene todos los números del $1$ al $16$, ya que multiplicamos el número de cada columna por $1$; la primer columna tiene los números del $1$ al $16$ por la misma razón. Ahora, sabemos que la suma de todos los números desde $1$ hasta $n$ es $\frac{n(n+1)}{2}$, entonces la suma de todos los números de la primera fila es $\frac{16\times 17}{2}$, lo mismo con la suma de los números de la primera columna. Por lo tanto, la suma de todos los números no borrados es $\frac{16\times 17}{2}+\frac{16\times 17}{2}=2\times \frac{16\times 17}{2}=16\times 17=272$, pero contamos dos veces a la casilla con el $1$, ya que la sumamos tanto para la fila como para la columna, por lo tanto, la suma de los números no borrados es $272-1=271$, que es un número primo. Entonces sí se pueden elegir las filas y columnas para que la suma de todos los números que no se borraron sea un número primo.

[Alejandro Meurzet]

para a)

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podemos decir que si borramos cualquiera sea la fila o columna, la suma de sus casillas va a ser un número par, por ejemplo: en la columna 3 están las casillas 3x1; 3x2; ...; 3X16, esto nos dice que hay 8 resultados impares y 8 resultados pares, como 8i= p (8xnúmero impar= número par) y 8p=p (8xpar=par), la suma va a ser par por ser p+p=p.
así que cualesquiera filas y columnas sean elegidas, la suma de las casillas va a ser un número par, por lo que no va a ser un número primo.