Un par de cosas:
El [math]1 no es primo.
Si [math]x es par y [math]x>22 entonces [math]x-20>2 y [math]2 es divisor de [math]x porque [math]x es par.
Pasa lo mismo para todos los números de la forma [math]20+p siendo [math]p un número primo.
Claro, pero fijate que en ese caso [math]x\not >25. Mi post dice que si [math]x>20+p y [math]x es múltiplo de [math]p, entonces no funciona, ya que [math]x-20>20+p-20=p, es decir que uno de sus divisores no entra en la desigualdad. Hay que tener cuidado cuando se lee, lo mismo que al interpretar enunciados
Cada numero tiene un divisor menor o igual a su raiz cuadrada, y uno mayor o igual a su raiz cuadrada.
Un divisor mayor o igual a la raiz cuadrada de n es llamado Dma
Un divisor menor o igual a la raiz cuadrada de n es llamado Dme
el lema se puede comprobar ya que N=Dma*Dme
Dma>=n^0,5
Dme<=n^0,5
ya que todos los divisores de n deben cumplir las condiciones: n-20<=d<=n-12
n-20<=Dma<=n-12
n-20<=Dme<=n-12
por lo tanto
n^0,5<=Dma<=n-12
n^0,5>=Dme>=n-20
Si n=15
15-12<15^0,5
Si n=16
16-12>=16^0,5
Si n=25
25-20<=25^0,5
Si n=26
26-20>26^0,5
Ahora vamos a probar
N=16 divisores={4, 2, 8} NO ya que 8>16-12
N=17 NO ya que N es primo
N=18 divisores={9 ,2, 3} NO ya que 9>18-12
N=19 NO ya que N es primo
N=20 divisores={2, 5, 4, 10} NO ya que 10>20-12
N=21 divisores={7, 3} SI ya que 7<21-12 y 3>21-20
N=22 divisores={2, 11} NO ya que 11>22-12
N=23 NO ya que N es primo
N=24 divisores={2, 3, 4, 6, 8, 12} NO ya que 2<24-20
N=25 divisores={5} SI ya que 5<25-12 y 5>=25-20
$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$
Sea $q = n/d$. Q es entero y divisor de N porque D lo es.
$n - 20 \leq d \leq n - 12$
$dq - 20 \leq d \leq dq - 12$
$-dq + 20 \geq -d \geq -dq + 12$
$20 \geq dq - d \geq 12$
$d \geq 2$, entonces $dq \geq 14$
Observamos que cada numero compuesto tiene por lo menos un factor mayor o igual a su raiz cuadrada, y otro menor o igual. Entonces existe un $d \leq \sqrt{dq}$
Para d, q = 5: $20 = 25 - 5$. Si $dq > 25$, este $d \leq \sqrt{dq}$ va a crecer mas lento que $dq$ porque $\sqrt{dq}$ crece mas lento que $dq$. Entonces para ese divisor d no se va a cumplir que $20 \geq dq - d$, por lo tanto, $25 \geq dq = n$
Entonces $25 \geq dq = n \geq 14$
Si dq es par, entonces existe un $d = 2$, y
$20 \geq 2q - 2 \geq 12$
$22 \geq 2q = n \geq 14$
Pero tambien puedo invertir los roles de d y q, entonces esto tambien debe ser cierto:
Entonces si n es multiplo de 3, $23 \geq n \geq 18$
Entonces ahora, de todos los valores posibles para N (del 14 a 25), marco en rojo todos los primos, todos los multiplos de 2, y todos multiplos de 3 que no estan entre 18 y 23 porque sabemos que no pueden ser valores de n.
Aclaración: El uno si entra, pero al ser trivial solo explicare las otras opciones:
Para empezar, convertí las desigualdades en igualdades y las pase a un gráfico con ejes n y d, donde las rectas son n-20 y n-12. De esta forma, para que se cumpla el enunciado, los divisores de n deben estar entre ambas paralelas (o sobre ellas)
En un rato subiré imágenes del gráfico, pero si lo hacen (o ven la imagen cuando la suba) notaran que:
1.PNG
Si seguimos el eje d=2 sobre el eje n, se encuentran los valores 14 a 22. Si los testeamos con el propio gráfico notaremos que ninguno cumple con el resto de divisores entre ambas paralelas, por lo que n no puede ser par.
2.PNG
Si seguimos el eje d=3 sobre el eje n, se encuentran los valores 15, 18, y 21. 18 queda descartado por lo anterior y 15 no cumple por el divisor 5. Pero 21 si cumple.
3.PNG
Si seguimos el eje d=5 (4 me lo salteo, porque estoy yendo por los primos) sobre el eje n, se encuentran los valores 20 y 25. 25 cumple ya que es 5^2.
5.PNG
Si seguimos el eje d=7 sobre el eje n, se encuentra y 21.
7.PNG
Con d = 11 (o los primos que siguen) ya nos salimos de las paralelas, por lo que no encontraremos mas que 21 y 25 de una forma relativamente sencilla. (Es mucho texto, pero lleva poco tiempo, por eso digo que es sencillo)
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