Identidad de Proizvolov

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Gianni De Rico

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Identidad de Proizvolov

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

La Identidad de Proizvolov es la suma de las diferencias positivas de los primeros [math] enteros positivos.
Para calcularla se eligen dos subconjuntos disjuntos de [math] elementos cada uno, y se los ordena de la siguiente forma:
[math]
[math]

Entonces [math]
Última edición por Gianni De Rico el Mié 21 Jun, 2017 11:18 pm, editado 1 vez en total.
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Gianni De Rico

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Re: Identidad de Proizvolov

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Demostración
Spoiler: mostrar
Primero vamos a demostrar que para cada [math] exactamente uno de ellos está en el conjunto [math] y el otro en [math].

Supongamos que [math], para algún [math]. Entonces se tiene que tanto [math] como [math] son elementos del conjunto [math]. Entonces tenemos que el conjunto de los [math] tiene [math] números y que el conjunto de los [math] tiene [math] números, en total [math], absurdo.
De manera análoga, se demuestra para [math].

Ahora veamos el valor de [math]. Como es el valor absoluto, en cada término el resultado es la resta del mayor menos el menor. Y como en cada par exactamente uno de sus elementos pertenece a [math] y otro a [math], tenemos:

[math]
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