Sea [math]AB un segmento de longitud [math]1. Varias partículas comienzan a moverse simultáneamente a velocidades constantes desde [math]A hasta [math]B. Tan pronto como una partícula alcanza [math]B, da vuelta y se dirige a [math]A; cuando llega a [math]A, comienza a moverse nuevamente hacia [math]B, y así indefinidamente.
Hallar todos los números racionales [math]r > 1 tales que existe un instante [math]t con la siguiente propiedad:
Para cada [math]n \geq 1, si [math]n+1 partículas con velocidades constantes [math]1,r,r^2, \ldots, r^n se mueven como se describió, en el instante [math]t todas ellas se encuentran en un mismo punto interior del segmento [math]AB.
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La distancia recorida en el instante [math]t por la particula con velocidad [math]r^{i} es [math]tr^{i}. Pongamos [math]tr^{i}=2e_i+a_i con [math]e_i\in \mathbb{Z} y [math]a_i\in [0;2). Llamemos [math]b_i=a_i si [math]a_i\leq1 si no [math]b_i=2-a_i. Como el segmento mide 1 y las particulas rebotan en B es claro que [math]b_i es la posicion de la particula con velocidad [math]r^{i} en el momento [math]t. Lo que nos dice el problema es que los [math]b_i tienen que ser todos iguales.
Si [math]r=2k+1 con [math]k entero, tomando [math]t=\frac{1}{2}, tenemos que [math]\frac{(2k+1)^{i}}{2}=e+\frac{1}{2} con [math]e entero [math]\Rightarrow a_i=\frac{1}{2} o [math]a_i=1+\frac{1}{2}. Por lo que [math]b_i=\frac{1}{2} y queda claro que las particulas se encontraran en un punto interior en el instante [math]t.
Si [math]r=2k con [math]k entero, tomemos [math]t=\frac{2k}{2k+1}. Tenemos que [math](2k)^{i}\equiv \pm 1(2k+1) por lo que [math](2k)^{i}=(2k+1)x\pm 1 para algun entero [math]x impar. Por lo que [math]a_i=1\pm \frac{1}{2k+1} y se sigue que [math]b_i=1-\frac{1}{2k+1}. Por lo que las particulas se encuentran en un punto interior en el instante [math]t.
Si [math]r no es entero, lo podemos escribir como [math]\frac{p}{q} para algunos enteros [math]p y [math]q coprimos con [math]q>1. Como todos los [math]b_i son iguales, hay dos casos:
CASO 1: hay un k suficientemente grande tal que [math]a_k=a_0\Rightarrow r^{k}t=2e_k+a_0=2e_k+t-2e_0. Como [math]r,e_0 y [math]e_k son racionales, [math]t debe ser racional. Escribamos [math]t=\frac{x}{y} con [math]x e [math]y enteros positivos([math]t>0). Queda [math]\frac{p^kx}{q^ky}=2(e_k-e_0)+\frac{x}{y}\Rightarrow p^kx=2q^ky(e_k-e_0)+xq^k\Rightarrow q^k\mid p^kx. Como [math]p y [math]q son coprimos, queda que [math]q^k\mid x. Como [math]k es suficientemente grande, [math]q^k>x por lo que lo anterior implica [math]x=0 absurdo.
CASO 2: hay un k suficientemente grande tal que [math]a_k=2-a_0\Rightarrow r^{k}t=2e_k+2-a_0=2e_k+2-t+2e_0. Como [math]r,e_0 y [math]e_k son racionales, [math]t debe ser racional. Escribamos [math]t=\frac{x}{y} con [math]x e [math]y enteros positivos([math]t>0). Queda [math]\frac{p^kx}{q^ky}=2(e_k+e_0+1)-\frac{x}{y}\Rightarrow p^kx=2q^ky(e_k+e_0+1)-xq^k\Rightarrow q^k\mid p^kx. Como [math]p y [math]q son coprimos, queda que [math]q^k\mid x. Como [math]k es suficientemente grande, [math]q^k>x por lo que lo anterior implica [math]x=0 absurdo.
Queda probado que todos los [math]r buscados son los enteros >1.
La distancia recorida en el instante $t$ por la particula con velocidad $r^{i}$ es $tr^{i}$. Pongamos $tr^{i}=2e_i+a_i$ con $e_i\in \mathbb{Z}$ y $a_i\in [0;2)$. Llamemos $b_i=a_i$ si $a_i\leq1$ si no $b_i=2-a_i$. Como el segmento mide 1 y las particulas rebotan en B es claro que $b_i$ es la posicion de la particula con velocidad $r^{i}$ en el momento $t$. Lo que nos dice el problema es que los $b_i$ tienen que ser todos iguales.
Si $r=2k+1$ con $k$ entero, tomando $t=\frac{1}{2}$, tenemos que $\frac{(2k+1)^{i}}{2}=e+\frac{1}{2}$ con $e$ entero $\Rightarrow a_i=\frac{1}{2}$ o $a_i=1+\frac{1}{2}$. Por lo que $b_i=\frac{1}{2}$ y queda claro que las particulas se encontraran en un punto interior en el instante $t$.
Si $r=2k$ con $k$ entero, tomemos $t=\frac{2k}{2k+1}$. Tenemos que $(2k)^{i}\equiv \pm 1(2k+1)$ por lo que $(2k)^{i}=(2k+1)x\pm 1$ para algun entero $x$ impar. Por lo que $a_i=1\pm \frac{1}{2k+1}$ y se sigue que $b_i=1-\frac{1}{2k+1}$. Por lo que las particulas se encuentran en un punto interior en el instante $t$.
Si $r$ no es entero, lo podemos escribir como $\frac{p}{q}$ para algunos enteros $p$ y $q$ coprimos con $q>1$. Como todos los $b_i$ son iguales, hay dos casos:
CASO 1: hay un k suficientemente grande tal que $a_k=a_0\Rightarrow r^{k}t=2e_k+a_0=2e_k+t-2e_0$. Como $r,e_0$ y $e_k$ son racionales, $t$ debe ser racional. Escribamos $t=\frac{x}{y}$ con $x$ e $y$ enteros positivos($t>0$). Queda $\frac{p^kx}{q^ky}=2(e_k-e_0)+\frac{x}{y}\Rightarrow p^kx=2q^ky(e_k-e_0)+xq^k\Rightarrow q^k\mid p^kx$. Como $p$ y $q$ son coprimos, queda que $q^k\mid x$. Como $k$ es suficientemente grande, $q^k>x$ por lo que lo anterior implica $x=0$ absurdo.
CASO 2: hay un k suficientemente grande tal que $a_k=2-a_0\Rightarrow r^{k}t=2e_k+2-a_0=2e_k+2-t+2e_0$. Como $r,e_0$ y $e_k$ son racionales, $t$ debe ser racional. Escribamos $t=\frac{x}{y}$ con $x$ e $y$ enteros positivos($t>0$). Queda $\frac{p^kx}{q^ky}=2(e_k+e_0+1)-\frac{x}{y}\Rightarrow p^kx=2q^ky(e_k+e_0+1)-xq^k\Rightarrow q^k\mid p^kx$. Como $p$ y $q$ son coprimos, queda que $q^k\mid x$. Como $k$ es suficientemente grande, $q^k>x$ por lo que lo anterior implica $x=0$ absurdo.
Queda probado que todos los $r$ buscados son los enteros >1.
pero si t=((q^n)/2) y p y q son impares entonces no estan todas las particulas en el mismo punto?
La distancia recorida en el instante $t$ por la particula con velocidad $r^{i}$ es $tr^{i}$. Pongamos $tr^{i}=2e_i+a_i$ con $e_i\in \mathbb{Z}$ y $a_i\in [0;2)$. Llamemos $b_i=a_i$ si $a_i\leq1$ si no $b_i=2-a_i$. Como el segmento mide 1 y las particulas rebotan en B es claro que $b_i$ es la posicion de la particula con velocidad $r^{i}$ en el momento $t$. Lo que nos dice el problema es que los $b_i$ tienen que ser todos iguales.
Si $r=2k+1$ con $k$ entero, tomando $t=\frac{1}{2}$, tenemos que $\frac{(2k+1)^{i}}{2}=e+\frac{1}{2}$ con $e$ entero $\Rightarrow a_i=\frac{1}{2}$ o $a_i=1+\frac{1}{2}$. Por lo que $b_i=\frac{1}{2}$ y queda claro que las particulas se encontraran en un punto interior en el instante $t$.
Si $r=2k$ con $k$ entero, tomemos $t=\frac{2k}{2k+1}$. Tenemos que $(2k)^{i}\equiv \pm 1(2k+1)$ por lo que $(2k)^{i}=(2k+1)x\pm 1$ para algun entero $x$ impar. Por lo que $a_i=1\pm \frac{1}{2k+1}$ y se sigue que $b_i=1-\frac{1}{2k+1}$. Por lo que las particulas se encuentran en un punto interior en el instante $t$.
Si $r$ no es entero, lo podemos escribir como $\frac{p}{q}$ para algunos enteros $p$ y $q$ coprimos con $q>1$. Como todos los $b_i$ son iguales, hay dos casos:
CASO 1: hay un k suficientemente grande tal que $a_k=a_0\Rightarrow r^{k}t=2e_k+a_0=2e_k+t-2e_0$. Como $r,e_0$ y $e_k$ son racionales, $t$ debe ser racional. Escribamos $t=\frac{x}{y}$ con $x$ e $y$ enteros positivos($t>0$). Queda $\frac{p^kx}{q^ky}=2(e_k-e_0)+\frac{x}{y}\Rightarrow p^kx=2q^ky(e_k-e_0)+xq^k\Rightarrow q^k\mid p^kx$. Como $p$ y $q$ son coprimos, queda que $q^k\mid x$. Como $k$ es suficientemente grande, $q^k>x$ por lo que lo anterior implica $x=0$ absurdo.
CASO 2: hay un k suficientemente grande tal que $a_k=2-a_0\Rightarrow r^{k}t=2e_k+2-a_0=2e_k+2-t+2e_0$. Como $r,e_0$ y $e_k$ son racionales, $t$ debe ser racional. Escribamos $t=\frac{x}{y}$ con $x$ e $y$ enteros positivos($t>0$). Queda $\frac{p^kx}{q^ky}=2(e_k+e_0+1)-\frac{x}{y}\Rightarrow p^kx=2q^ky(e_k+e_0+1)-xq^k\Rightarrow q^k\mid p^kx$. Como $p$ y $q$ son coprimos, queda que $q^k\mid x$. Como $k$ es suficientemente grande, $q^k>x$ por lo que lo anterior implica $x=0$ absurdo.
Queda probado que todos los $r$ buscados son los enteros >1.
pero si t=((q^n)/2) y p y q son impares entonces no estan todas las particulas en el mismo punto?
supongo que la gracia era justamente que la t sea universal y no dependa de "n" asique ya entendí, ignórenme.
Que condición rara: "Que la partícula llegue a B y pegue la vuelta", ¿Como hacemos para expresar la posición de la partícula en base a esto? Cualquier función involucraría una función partida, y a nadie le gustan las funciones partidas... Durante largos minutos viendo mentalmente el segmento $AB$ que esta dibujado en la hoja, imaginando como pelotitas van y vuelven, podríamos estar seguros que ninguna función conocida toma esa forma.
¿Que pensaran las partículas? Seres unidimensionales que se mueven constantemente en un espacio de dos dimensiones, yendo y viniendo, sin ninguna función que describa su movimiento.
Pero llega ese momento, donde dejamos de pensar simplemente en un segmento de una dimensión, y nos trasladamos a otra dimensión desconocida para estas simples partículas.
Quiero que agarren cualquier cosa que tengan a su lado, el teléfono, una cuchara, una hoja, puede parecer obvio que si los miramos de costado (asumiendo que agarraron algo bastante finito) estamos viendo un segmento, sin embargo, es cuestión de cambiar nuestro punto de vista para notar que esos objetos no son simplemente segmentos, tienen distintas formas, ya sea rectangular, circular, ovalada, etc. Ahora imagínense esto, una circunferencia y un punto que se mueve con velocidad constante por esta circunferencia, siempre siguiendo las agujas del reloj y sin dar saltos raros de un lado al otro. Teniendo esto en mente, ahora piensen en ese mismo punto, moviéndose de la misma manera, pero esta vez mirando la circunferencia de costado. Nuestra circunferencia, ya no es mas una circunferencia para nuestros nuevos ojos, si no que paso a ser un simple segmento. Y nuestro punto, ahora se mueve por ese segmento yendo y viniendo de punta a punta. Acabamos de encontrar la solución a nuestro problema.
Dado un punto $P$ en el plano, en este caso la partícula, es sabido que sus coordenadas complejas son $p = R\cos{\alpha}+i.R\sin{\alpha}$ siendo $R$ la distancia al $0$, la cual en este caso es el radio de la circunferencia y $\alpha$ el ángulo que forma el punto $P$ con el $0$ y el eje de abscisas.
Realmente no es necesario saber complejos, simplemente imagínense que la $i$ que aparece ahí representa la coordenada $y$ y listo. Además, es super fácil de deducir esa forma de escribir los puntos.
Sabemos que la longitud de la circunferencia es $2$, pues contamos un ida y vuelta como una vuelta completa a la circunferencia. Luego, la longitud de la circunferencia es $l = 2\pi.R$ siendo $l$ la longitud y $R$ el radio $\therefore 2 = 2\pi.R \Rightarrow R = \frac{1}{\pi}$.
Por lo tanto, la fórmula de la posición viene dada por la ecuación
Esta formula, además de ser no partida, y darnos la posición exacta de la partícula (en el plano), también nos dice que si $\sin{\alpha_p} < 0$ entonces la partícula esta volviendo, es decir esta yendo de $B$ hacia $A$, signo contrario para ir de $A$ hacia $B$ y si $\sin{\alpha_p} = 0$ entonces la partícula se encuentra en $A$ o $B$, en cuál de los dos puntos lo podemos sacar con la parte real.
Ahora, nos interesa hallar ese $\alpha$, entonces si la partícula $P$ recorrió una distancia igual a $L_p$ hasta el momento de encuentro, entonces el ángulo que buscamos es $\alpha_p = L_p\pi$. Luego, sabemos que $V = \frac{D}{T}$, donde $V, D, T$ indican velocidad, distancia y tiempo, respectivamente, de donde si llamamos $P_1, P_2, \dots, P_{n+1}$ a las partículas correspondientes a las velocidades $1, r, r^2, \dots$, entonces $r^{p-1} = \frac{L_p}{t} \iff t = \frac{L_p}{r^{p-1}}$ donde $t$ es el tiempo, el cuál es el mismo para todas las partículas al momento del encuentro. Por consiguiente, nos queda la siguiente igualdad:
De donde $L_p = L_1.r^{p-1} \Rightarrow \alpha_p = L_1.r^{p-1}\pi$, y ahora si, la formula bien expresada quedaría $p = \frac{\cos{(L_1.r^{p-1}\pi)}+i\sin{(L_1.r^{p-1}\pi)}}{\pi}$ pero como solo nos interesa la posición en $x$, entonces
Tomando $L_1 = 2$ entonces es obvio que todos los enteros cumplen porque los múltiplos de $2k\pi$ hacen $0$ a la función. Y recordemos que si $\cos{a} = \cos{b} \Rightarrow a = b + 2k\pi$ con $k$ entero y hay un caso especial, que es cuando lo de adentro hace cero a la función, en ese caso $a = b+k\pi$. Para generalizar, tomamos este segundo caso, dejándonos con:
$$\Rightarrow L\pi = L.r\pi+k_1\pi = L.r^2\pi+k_2\pi = \dots \Rightarrow L = L.r^{p}+k_p \Rightarrow L = \frac{k_p}{1-r^{p}}$$
$$\Rightarrow L = \frac{k_1}{1-r} = \frac{k_2}{1-r^2} = \dots \Rightarrow k_1 = \frac{k_2(1-r)}{1-r^2} = \frac{k_3(1-r)}{1-r^3} = \dots$$
$r = \frac{a}{b}, a, b \in \mathbb Z, (a, b) = 1$
$$\Rightarrow k_1 = \frac{k_2(1-\frac{a}{b})}{1-\frac{a^2}{b^2}} = \frac{k_3(1-\frac{a}{b})}{1-\frac{a^3}{b^3}} = \dots \Rightarrow k_1 = \frac{k_2.b}{\frac{b^2-a^2}{b-a}} = \frac{k_3.b^2}{\frac{b^3-a^3}{b-a}} = \dots$$
Pero es conocido que $\frac{b^{n}-a^{n}}{b-a}$ es entero, de donde esta fracción divide a $k_n.b^{n-1}$ pero como $(a, b) = 1$ entonces obtenemos que $k_n = k_n'.\frac{b^{n}-a^{n}}{b-a}$ y se sigue que:
Y como eso sigue hasta infinito, entonces las opciones son las siguientes:
$b = 0$, absurdo porque es $r = \frac{a}{b}$.
$b = 1$ también absurdo porque $r$ seria entero.
$b = -1$ mismo caso que antes.
Pero como no se cumple ninguna de las anteriores, entonces $k_1' = k_2' = \dots = 0 \Rightarrow k_1 = k_2 = \dots = 0 \Rightarrow L = 0$ lo cual es absurdo porque claramente no consideramos el momento cuando todas las partículas salen de $A$. Entonces concluimos que si $r$ es racional, entonces es entero, y en especifico mayor que $1$.
$\blacksquare$
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