Pequeño Teorema de Fermat (Fermatito)

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Ivan

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Pequeño Teorema de Fermat (Fermatito)

Mensaje sin leer por Ivan »

Pequeño Teorema de Fermat:
Si [math] es primo y [math] es un entero entonces [math]. En otras palabras, [math] es múltiplo de [math].
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Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Daniel
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Re: Fermatito

Mensaje sin leer por Daniel »

Consideremos primero el caso en que $a$ no es múltiplo de $p$. Consideremos el conjunto de números
$\{1,2,\cdots ,p-1\}$. Por otra parte consideremos el conjunto de números $\{a,2a,\cdots, (p-1)a\}$. (A los conjuntos los miramos módulo $p$, es decir, solo nos importa el resto de los números en la división por $p$). Es claro que los números del segundo conjunto son $p-1$ números, ninguno divisible por $p$, pues $a$ no lo era. Veamos que son todos distintos. Si $ai\equiv aj\bmod{p}$ con $1\le i,j\le p-1$ entonces $a(i-j)\equiv 0\bmod{p}$ y dado que $a$ es coprimo con $p$ tenemos que $i\equiv j\bmod{p}$. Si nos fijamos el rango de $i,j$ concluimos que $i=j$. Esto nos dice que los números del segundo conjunto son todos distintos módulo $p$, deben ser, en algún orden, exactamente los números del primer conjunto.
Ahora la idea va a ser multiplicar los números de cada conjunto, como son iguales los conjuntos, tenemos que:
$1\cdot 2\cdot 3\cdots (p-2)\cdot (p-1)\equiv a\cdot 2a\cdot 3a\cdots (p-1)a$.
Reagrupando los términos de manera amigable, nos queda que
$(p-1)!\equiv a^{p-1}(p-1)!$ y como claramente $(p-1)!$ es coprimo con $p$ podemos "cancelarlo" en la congruencia. Luego nos queda que $a^{p-1}\equiv 1\bmod{p}$. Si multiplicamos la congruencia por $a$ a ambos lados nos queda lo que queríamos.
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