Denotamos [math]d(n) al número de divisores positivos del entero [math]n, incluyendo [math]1 y [math]n. Hallar todos los enteros positivos [math]n tales que [math]\frac{n}{d(n)} es un entero primo.
Pongamos, para facilitar [math]n=p^{a} \cdot \displaystyle\prod_{i=1}^k p_i^{a_i} con [math]p_i < p_j \Leftrightarrow i < j. Entonces, [math]d(n)=(a+1)\cdot \displaystyle\prod_{i=1}^k (a_i+1). Todo ésto, porque es trivial ver que [math]p \mid n
Del enunciado, tenemos, entonces que [math]p=\dfrac{n}{d(n)}=\dfrac{p^{a} \cdot \displaystyle\prod_{i=1}^k p_i^{a_i}}{(a+1)\cdot \displaystyle\prod_{i=1}^k (a_i+1)}.
Esto, bastante grotesco en principio, se puede simplificar a: [math](a+1)\cdot \displaystyle\prod_{i=1}^k (a_i+1)=p^{a-1}\cdot \displaystyle\prod_{i=1}^k p_i^{a_i}. (1)
De la última igualdad, se sigue que si [math]k=0, entonces [math]a+1=p^{a-1} esta ecuación arroja como únicos resultados [math]a=2 y [math]p=3 ó [math]a=3 y [math]p=2. En tales casos, los valores de [math]n son [math]8 ó [math]9.
De ahora en más [math]k \in \mathbb{N}. Es realmente útil notar que dado un entero positivo [math]w>2, se tiene que [math]w^a > a+1 (la prueba de ésto es sencilla puesto que [math]w^a > 2^a. Y es realmente fácil advertir que [math]2^a \geq a+1 para todo entero positivo).
Ahora usamos este pequeño dato, en el hecho de que si [math]3<p_1 < ... < p_k, entonces [math]p_i^{a_i} > a_i+1 (directo de nuestro lemita). Analizamos los casos según [math]p_1 \geq 3 ó [math]p_1=2.
Caso 1) [math]p_1 \geq 3. Por nuestro lema, es inmediato que [math]\displaystyle\prod_{i=1}^k p_i^{a_i} > \displaystyle\prod_{i=1}^k (a_i+1). Entonces, recordando (1), se tiene que [math]a+1>p^{a-1}. En este caso, tenemos que si [math]a=1 la desigualdad es cierta para todo [math]p. Y si [math]a>1 la única posibilidad es [math]a=2 que conduce a [math]p=2 que ya teníamos.
Si [math]a=1, entonces [math]2 \cdot \displaystyle\prod_{i=1}^k (a_i+1)=\displaystyle\prod_{i=1}^k p_i^{a_i} o lo que es lo mismo: [math]2 \cdot (a_1+1) \cdot \displaystyle\prod_{i=2}^k (a_i+1)=p_1^{a_1} \cdot \displaystyle\prod_{i=2}^k p_i^{a_i}. (2)
Como [math]\displaystyle\prod_{i=2}^k (a_i+1) < \displaystyle\prod_{i=2}^k p_i^{a_i}, entonces [math]2 \cdot (a_1+1) > p_1^{a_1} \geq 3^{a_1}, la única posibilidad es [math]a_1=1 y [math]p_1=3.
Entonces la ecuación (2) se convierte en [math]4 \cdot \displaystyle\prod_{i=2}^k (a_i+1)=3 \cdot \displaystyle\prod_{i=2}^k p_i^{a_i}, es decir que el lado derecho es par, pero cada primo [math]p_i con [math]i>1 es mayor o igual que 5 (por hipótesis). Absurdo.
En conclusión las únicas posibilidades para el caso 1 son [math]n=8 ó [math]n=9.
Caso 2) Lo termino otro día, tengo sueño.
Sea [math]\theta = 1,3063778838... Para todo entero positivo [math]k se cumple que [math]\left\lfloor \theta^{3^k}\right\rfloor es un número primo.
Yo habia sacado sacado que si n era de la forma 8*p, esto iba a tener 8 divisores, y entonces el resultado era p. Ejemplo: 8*5=40, divisores de 40=1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 ----> d(40)=8. Y 40/8=5.
Creo que era porque: Como 8|n, 4|n y 2|n. Entonces hasta aca tenes 4 divisores: 1, 2, 4 y 8.
Al agregarle un primo p>2, como es coprimo con todo el resto excepto con 1, se agregan el 8*p, 4*p y el 2*p. Entonces d(n)=8.
Pero no se cómo sacar cuáles son todos los n, sé que estos casitos valen...
Notemos que la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera: [math]n=p.d(n), siendo [math]p un número primo.
Como ambos números son iguales tenemos que [math]d(n)=d(p.d(n))
Notemos que como [math]p es primo si [math]mcd(p;d(n))=1\Rightarrow d(p.d(n))=2d(n), ahora si [math]p es divisor de [math]d(n) entonces escribimos [math]n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}p_{k+1}^{\alpha_{k+1}} \Rightarrow d(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_k+1)(\alpha_{k+1}+1)
Entonces [math]np_{k+1}=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}p_{k+1}^{\alpha_{k+1}+1}
y [math]d(np_{k+1})=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_k+1)(\alpha_{k+1}+2) [math]=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_k+1)(\alpha_{k+1}+1 +1)<2d(n)
Llamemos [math]x=d(n) entonces queda que [math]x \leq 2d(x)
Esto se puede interpretar como que la cantidad de divisores de [math]x es al menos [math]\frac{x}{2} por lo que como el mayor divisor de [math]x, distinto de [math]x es a lo sumo [math]\frac{x}{2} entonces la maxima cantidad de divisores de [math]x, es [math]\frac{x}{2}+1.
Caso [math]1
Si [math]x es impar entonces la máxima cantidad de divisores de [math]x es [math]\frac{x}{3}+1>\frac{x}{2}, lo cual solo se cumple si [math]6>x.
Caso [math]2
Si [math]x=2y entonces hay a lo sumo un número menor a [math]y que no divide a [math]2y entonces se cumple alguna de las dos expresiones: [math]y-2 \mid 2y (1) [math]y-1 \mid 2y (2)
De esto se deduce que [math]x\{4;6;8;12\}
Finalmente los posibles valores de [math]d(n)=x=\{2;3;4;5;6;8;12\}
Si [math]x=2 Entonces [math]n es primo por lo que no existen soluciones
Si [math]x=3 Entonces [math]n=p^2 \Rightarrow p^2=3p \Rightarrow n=9
Si [math]x=4 Entonces [math]n=p^3 \Rightarrow p^3=4p \Rightarrow n=8
o [math]n=p_1p_2 \Rightarrow p_1p_2=4p_1 \Rightarrow no hay soluciones
Si [math]x=5 Entonces [math]n=p_4 \Rightarrow p^4=5p \Rightarrow no hay soluciones
Si [math]x=6 Entonces [math]n=p_5 \Rightarrow p^5=6p \Rightarrow no hay soluciones
o [math]n=p_1^2p_2\Rightarrow p_1^2p_2=6p_1 \Rightarrow n=\{12; 18\} [math]n=p_1^2p_2\Rightarrow p_1^2p_2=6p_2 \Rightarrow no hay soluciones
Si [math]x=8 Entonces [math]n=p^7 \Rightarrow p^7=8p \Rightarrow lo cual no tiene soluciones
o [math]n=p_1^3p_2 \Rightarrow p_1^3p_2=8p_1 \Rightarrow lo cual no tiene soluciones
o [math]n=p_1^3p_2 \Rightarrow p_1^3p_2=8p_2 \Rightarrow n=8p
o [math]n=p_1p_2p_3 \Rightarrow p_1p_2p_3=8p_1 \Rightarrow lo cual no tiene soluciones
Si [math]x=12 Entonces [math]n=p_11\Rightarrow p_1^11=12p_1 \Rightarrow lo cual no tiene soluciones [math]n=p_1p_2^5\Rightarrow p_1p_2^5=12p_1 \Rightarrow lo cual no tiene soluciones [math]n=p_1p_2^5\Rightarrow p_1p_2^5=12p_2 \Rightarrow lo cual no tiene soluciones [math]n=p_1^2p_2^3n=p_1p_2^5\Rightarrow p_1^2p_2^3=12p_1 \Rightarrow[math]no tiene solucionesn=p_1^2p_2^3[math]n=p_1p_2^5\Rightarrow p_1^2p_2^3=12p_1 \Rightarrow no tiene soluciones [math]n=p_1^2p_2p_3 \Rightarrow p_1^2p_2p_3=12p_1 \Rightarrow no tiene soluciones [math]n=p_1^2p_2p_3 \Rightarrow p_1^2p_2p_3=12p_2 \Rightarrow n=12p
Lema: $d(n)<2\sqrt{n}$. Demo: Para cada uno de los divisores $d\le\sqrt{n}$, podemos emparejarlo con $\frac{n}{d}\ge\sqrt{n}$. De este modo, si hay $x$ divisores $d\le\sqrt{n}$, entonces hay a lo sumo $2x$ divisores totales ("a lo sumo" porque podríamos estar repitiendo $\sqrt{n}$). Pero como los $x$ divisores son números entre $1$ y $\sqrt{n}$, entonces $d(x)\le 2x\le 2\sqrt{n}$.
Ahora bien, notar que la igualdad no podría darse, porque para que $x=\sqrt{n}$ sí o sí $\sqrt{n}$ debería ser entero, y por ende, divisor de $n$, pero en dicho caso lo contamos dos veces en las parejas y entonces no puede ocurrir $d(x)=2x$. De este modo, $d(n)<2\sqrt{n}$.
El lema implica que $p=\frac{n}{d(n)}>\frac{n}{2\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{2}$, de donde $n<4p^2$. Si $p^2\mid n$ entonces obligatoriamente $n$ es $p^2$, $2p^2$ o $3p^2$. En cada caso tenemos respectivamente que:
1) $p=\frac{p^2}{3}$, luego $p=3$, de donde $n=9$.
2) $p=\frac{2p^2}{6}$ si $p\neq 2$, luego $p=3$, de donde $n=18$; y si $p=2$ entonces $n=8$, que anda.
3) $p=\frac{3p^2}{6}$ si $p\neq 3$, luego $p=2$, de donde $n=12$; y si $p=3$ entonces $n=27$ que NO anda.
En resumen tenemos los casos $8$, $9$, $12$, $18$, que andan.
Ahora, si esto no ocurre, entonces $n=pk$ donde $k$ es coprimo con $p$. De este modo, se puede escribir $d(n)=2d(k)$, y entonces
$$p=\frac{n}{d(n)}=\frac{pk}{2d(k)}$$
lo que se reduce a $k=2d(k)$. Volviendo a apelar al Lema, $k=2d(k)<4\sqrt{k}$, luego $k<16$. Esto nos da $15$ valores posibles para $k$.
¡Pero no desesperemos! No puede ser $k=1$ puesto que $1\neq 2\times 1$.
Tampoco puede ser $k=q$ primo, puesto que $q\neq 2\times 2=4$ para ningún primo $q$. Esto descarta $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ y $13$.
Tampoco puede ser $k=q^2$ con $q$ primo, puesto que $q^2\neq 2\times 3=6$ para ningún primo $q$. Esto descarta $4$ y $9$.
Tampoco puede ser $k=qr$ con $q$ y $r$ primos, puesto que $qr\neq 2\times 2\times 2=8$ para ningunos primos $q$, $r$. Esto descarta $6$, $10$, $14$ y $15$
Los únicos números que quedan entre $1$ y $15$ son $8$ y $12$, que sorprendentemente funcionan ambos (lo vimos arriba).
Esto nos da los casos $8p$ y $12p$, que se puede comprobar que funcionan.
En total tenemos que $n$ puede ser $8$, $9/12/18$, $12p$, $18p$.