Los puntos [math]D y [math]E dividen al lado [math]AB del triángulo equilátero [math]ABC en tres partes iguales; [math]D está entre [math]A y [math]E. El punto [math]F del lado [math]BC es tal que [math]CF=AD. Hallar el valor de la suma de los ángulos [math]C\widehat{D}F+C\widehat{E}F.
Sea [math]M el punto medio de [math]AB. Sea [math]F_1 el reflejo de [math]F por [math]CM. Como [math]DE \perp CM y [math]DM=EM tenemos que [math]E es el reflejo por [math]CM de [math]D. Luego, los triángulos [math]CDF y [math]CEF_1 son congruentes, y en particular [math]C\widehat{D}F=C\widehat{E}F_1. Por esto, [math]C\widehat{D}F+C\widehat{E}F=C\widehat{E}F_1+C\widehat{E}F=F_1\widehat{E}F.
Por definición, tenemos que [math]FB=DB, por lo que [math]2EB=FB, pero como [math]F\widehat{B}E=60^{\circ}, [math]FEB es medio equilátero. Luego, [math]E\widehat{F}B=30^{\circ}. Por recíproco de Thales, tenemos además que [math]F_1F \parallel AB. Luego, por alternos internos, [math]E\widehat{F}B=F_1\widehat{E}F=C\widehat{D}F+C\widehat{E}F=30^{\circ}.
Digamos que $C\widehat DF=\alpha$ y que $C\widehat EF=\beta$. Digamos que $AD=x$, entonces $CF=AD=DE=EB=x$, de modo que $AB=3x$, y por lo tanto $BC=CA=AB=3x$. Entonces $BF=2x=BD$, así que $BDF$ es equilátero, de modo que $D\widehat FB=60^\circ =A\widehat CB$, con lo que $DF$ y $AC$ son paralelas, lo que implica que $A\widehat CD=\alpha$. Por otro lado, como $DBF$ es equilátero y $E$ es el punto medio de $DB$, tenemos que $B\widehat EF=90^\circ$. Ahora, tenemos que $BC=3x=AC$, $BE=x=AD$ y $E\widehat BC=60^\circ =D\widehat AC$, entonces los triángulos $BCE$ y $ACD$ tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes, de modo que son congruentes, con lo que $E\widehat CB=\alpha$. Por suma de ángulos interiores en el triángulo $BCE$ tenemos que $\alpha +\beta +90^\circ +60^\circ =180^\circ$, de modo que $\alpha +\beta =30^\circ$, es decir que $C\widehat DF+C\widehat EF=30^\circ$.
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Comenzamos viendo que como los triangulos $ADB$ y $BCE$ son congruentes ($BC=AB$, $B\hat{A}C = B\hat{C}A$, $AB=BC$ y $AD=DC$) $A\hat{B}D = C\hat{B}E$ y lo llamaremos $β$. $ABFD$ es un trapecio isosceles por tener los dos ángulos de la base $B\hat{A}C$ y $B\hat{C}A$ congruentes y los lados $BF$ y $AD$congruentes. Entonces, $AB \parallel DF$ y $β= B\hat{D}F$ por alternos internso entre las paralelas mencionadas.
Por $ABFD$ ser un trapecio isosceles $B\hat{F}D = A\hat{D}F = \frac{360° - 60° - 60°}{2} = 120°$ y como $D\hat{F}C$ y $C\hat{D}F$ son adyacentes a $B\hat{F}D$ y $A\hat{D}F$ respectivamente son de $60°$ ambos angulos haciendo al triángulo $DFC$ equilátero.
$E$ es punto medio de $DC$ haciendo a $FE$ biscectriz de $D\hat{F}C$ entonces $D\hat{F}E = C\hat{F}C =30°$. Entonces $B\hat{F}E = D\hat{F}E + B\hat{F}D = 120°+30° =150°$.
Ahora veamos al triángulo $BFE$, ya sabemos que uno de sus ángulos es $B\hat{F}E = 150°$ y los otros dos son $β$ y $B\hat{F}E$ loa que debemos encontrar su suma. El ángulo exterior de $B\hat{F}E$ es $30°$ y como dice la propiedad que el ángulo exterior de un ángulo en un triángulo es la suma de los otros dos del triángulo: $B\hat{D}F + B\hat{E}F = 30°$
