Nacional 2008 P1 N1

[Josefina]

Determinar si es posible distribuir [math]60 ceros y [math]61 unos en las casillas de un tablero de [math]11 \times 11, un número en cada casilla, de modo que la suma de los números de cada fila sea impar, la suma de los números de cada columna sea impar y la suma de los números de cada una de las dos diagonales sea impar.
¿Y si el tablero es de [math]12 \times 12 y se quieren distribuir [math]72 ceros y [math]72 unos?

[jujumas]

Solución:

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Es posible en ambos casos. Acá tenemos los dos ejemplos:

[math]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & & & & & \\ \hline 1 & 1 & 1 & & & & & & & & \\ \hline 1 & 1 & 1 & & & & & & & & \\ \hline 1 & 1 & 1 & & & & & & & & \\ \hline 1 & 1 & 1 & & & & & & & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & & & & 1 & & & & 1 & 1 \\ \hline & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}

[math]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & & & & & & \\ \hline 1 & 1 & 1 & & & & & & & & & \\ \hline 1 & 1 & 1 & & & & & 1 & 1 & & & \\ \hline 1 & 1 & 1 & & & & & 1 & 1 & & & \\ \hline 1 & 1 & 1 & & & & & & & 1 & 1 & \\ \hline 1 & 1 & & & & 1 & & & & 1 & 1 & \\ \hline & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ \hline & & & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ \hline & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ \hline & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ \hline 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \hline & & & 1 & & & & & & & & \\ \hline \end{array}

Sí. Este problema es así de triste...

[MathIQ]

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$A)$Es posible la manera que encontré es esta:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
$B)$Es posible la manera que encontré es la siguiente:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1