Inicialmente, en el pizarrón, está escrito el número $1$. Hay dos operaciones permitidas que pueden elegirse a voluntad.
Escribir debajo del último número escrito, ese número multiplicado por $2$.
Escribir debajo del último número escrito, ese número cambiándole el orden a sus dígitos.
No está permitido que el nuevo número comience con el dígito $0$.
Decidir si es posible, después de aplicar varias veces operaciones permitidas, obtener:
el número $10^9=1000000000$;
el número $9876543210$.
En caso afirmativo, dar la sucesión de operaciones y en caso negativo, explicar por qué es imposible.
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Para mí este fue el problema más jodido de la prueba, ya que necesitabas bastante suerte para encontrar el ejemplo para i) y la idea que se usaba para demostrar ii) era bastante rebuscada y era muy probable que no se te llegue a ocurrir (se me ocurrió la solución literalmente a 40 minutos de terminar la prueba).
i) Observemos primero que [math]2^9=512 y que con estos dígitos podemos armar [math]125, que es la octava parte de mil. Luego, acabamos de ver que es posible llegar de [math]1 a [math]1000=10^3. Para llegar a [math]10^9 entonces, podemos volver a hacer este proceso dos veces más. Multiplicamos [math]1000 por [math]2 nueve veces hasta que nos quede [math]512000, invertimos los dígitos a [math]125000, multiplicamos por [math]2 tres veces hasta llegar a [math]10^6, multiplicamos [math]1000000 por [math]2 nueve veces, llegando a [math]512000000, invertimos de nuevo, y multiplicando por [math]2 tres veces llegamos a [math]10^9, que es lo que esta parte pedía.
ii) Vamos a demostrar que no es posible lograr lo pedido. Llegar desde [math]1 hasta [math]9876543210, equivale a llegar desde [math]9876543210 a [math]1, solo que invirtiendo la operación a) (dividir por 2 en vez de multiplicar por 2). Para demostrar que es imposible llegar del número pedido a [math]1 voy a demostrar que todos los números por los que se pase en el procedimiento inverso son necesariamente múltiplos de [math]9, y que como [math]1 no lo es, es imposible lograr lo que el problema pide.
Notemos primero que [math]9876543210 es múltiplo de [math]9, ya que la suma de sus dígitos también lo es. Esto quiere decir que su descomposición en primos incluye a [math]3^2. Veamos que al aplicar la operación a), estamos sacando un [math]2 de la descomposición en primos de un número, por lo que si el número antes de aplicar la operación a) es múltiplo de [math]9, el número que quede va a seguir siéndolo necesariamente. Veamos ahora que al aplicar la operación b), la suma de dígitos del número va a seguir siendo la misma por más que el mismo cambie (ya que los dígitos son los mismos solo que en otro orden). Esto quiere decir, que si la suma de los dígitos de un número antes de que se le aplique la operación b) es múltiplo de [math]9 (lo que implicaría que el número fuese múltiplo de [math]9), el número que salga tras aplicar la operación va a seguir teniendo suma de dígitos divisible por [math]9, y en consecuencia va a seguir siendo divisible por [math]9.
Con esto notamos que aplicándole operaciones permitidas a cualquier múltiplo de [math]9 nunca vamos a llegar a un número que no sea múltiplo [math]9, por lo que no es posible llegar desde [math]1 a ningún múltiplo de [math]9, y en particular, es imposible llegar a [math]9876543210.
La idea que usé en ii) para demostrar que ningún número por los que el procedimiento pueda pasar va a ser múltiplo de [math]9 también se puede aplicar con múltiplos de [math]3, por lo que el problema te podía pedir tranquilamente que demuestres que era imposible para cualquier otro múltiplo de [math]3. Que hayan usado particularmente [math]9876543210 fue algo que me distrajo mucho, ya que encaré el problema viendo que no había dígitos repetidos en ese número, y no que era múltiplo de [math]3.
Última edición por jujumas el Jue 01 Oct, 2015 11:22 pm, editado 2 veces en total.
El paso [math]1 será multiplicar por [math]2, y el paso [math]2 será ordenar los dígitos. Note que si realizamos al número [math]1 nueve veces el paso [math]1, entonces obtenemos [math]512. Luego, viene: [math]512\rightarrow 125\rightarrow 250\rightarrow 500\rightarrow 1000. Si obviamos estos tres últimos ceros para poder aplicarle a ese [math]1 lo mismo del anterior, entonces obtendremos [math]1000000. Luego, obviamos los seis últimos ceros y hacemos lo mismo con el [math]1, para así obtener [math]1000000000.
Note si un número [math]N no es múltiplo de [math]9, entonces al multiplicarlo por [math]2 o al reordenar sus dígitos, jamás se obtendrá un múltiplo de [math]9. Por lo tanto, como [math]1 no es múltiplo de [math]9, entonces nunca podremos obtener el número [math]987654321, ya que éste último es múltiplo de [math]9.
Para mi se podría justificar así:
987654210 es divisible por 2 y por 3 cualquier intercambio de díg que hagamos si es div por 2 lo seguirá siendo por 3. Por lo tanto es divisible por 2x3 =6.
Si llamamos X al número inicial tenemos X:(2x3) mientras dividimos solo por dos el número que quede siempre será divisible por 3 por lo tanto en algún momento ya no tendremos ningún díg como el 2, 0,6,8, 4 para poner al final de modo que sea div por 2. Por lo tanto no podríamos obtener del X inicial nunca un 1 solo div por.dos y reordenando dígitos.
Comenzando en $1 (2^0)$, podemos ir multiplicando por 2 hasta $2^9$ que es $512$. Luego, podemos reordenar los dígitos de $512$ para obtener $125$.
Dado el $125$, lo vamos a seguir multiplicando por $2$:
$125 * 2 = 250$
$250 * 2 = 500$
$500 * 2 = 1000$
Al llegar a 1000 podemos ver que los resultados serán similares a los que nos dio el 1, salvo que vamos a tener más ceros:
$1000 * 2^9 = 512000$
De nuevo, podemos girar los dígitos y nos queda $125000$.
Ya sólo nos queda repetir el proceso:
ii)
Notemos que cada vez que reordenamos los dígitos de un número, este siempre mantiene su resto en módulo $3$. Esto pasa porque el resto en módulo $3$ es congruente a la suma de los dígitos del número y, como la suma de los dígitos no cambia al reordenarlos, este se mantiene:
$15412$ $\equiv$ $1 + 5 + 4 + 1 + 2 (3)$ $\equiv$ $13 (3)$ $\equiv$ $1 (3)$
Si los reordenamos:
$54121$ $\equiv$ $5 + 4 +1 + 2 + 1 (3)$ $\equiv$ $13 (3)$ $\equiv$ $1 (3)$
Ahora, cada vez que multiplicamos por $2$, el resto en módulo 3 también se multiplica por $2$. Esto es una propiedad de la congruencia.
Entonces, si empezamos en $1$ nos queda:
Como podemos ver, cada vez que multipliquemos por $2$ a un número congruente a $1(3)$ o congruente a $2(3)$ jamás nos dará por resultado un número congruente a $0(3)$. Como al reordenar los dígitos el resto en módulo $3$ se mantiene, ningún número que escribamos a partir de las operaciones dadas podrá ser nunca congruente a $0(3)$. Ahora, veamos a qué es congruente $9876543210$:
Notemos que $10=2\times 5$, entonces si elevo a $9$ ambos miembros queda que $10^{9}=(2\times 5)^{9}=2^{9}\times 5^{9}$, entonces para llegar a $10^{9}$ habría que multiplicar por $2$ y cambiar dígitos para llegar a $2^{9}\times 5^{9}$.
Empezamos por $1=2^{0}$, multiplicamos por $2$ hasta que llegamos a $512$ ($2^{9}$), y si lo cambiamos a $125$ obtenemos $3$ factores $5$ ($5^{3}$) (también podríamos reescribir el $256$ para que sea $M_{5}$, pero en su factorización hay un factor $53$ que no nos sirve). Al $125$ lo seguimos multiplicando por $2$ hasta que llegamos a $1000$ ($2^{3}$). Notemos que, como llegamos a una potencia de $10$, podemos multiplicar por cualquier número y siempre va a quedar ese número y la cantidad de ceros original; entonces podemos "pensar" a este $1000$ como un $1$, y volver a multiplicar por los factores anteriores (creamos una especie de secuencia o algoritmo):
$1000\times 2^{9}$
$512000$
$125000$
$125000\times 2^{3}$
$1000000$
$1000000\times 2^{9}$
$512000000$
$125000000$
$125000000\times 2^{3}$
$1000000000=10^{9}$
Notemos que $9876543210\in M_{9}$ y que para que un número sea $M_{9}$ la suma de sus cifras debe ser $M_{9}$, es decir que el paso de intercambiar los dígitos no afecta ya que la suma se mantiene. Ahora bien, tampoco se puede llegar a un $M_{9}$ multiplicando por $2$, ya que mirando módulo $9$ $9876543210\equiv 0$ entonces para llegar a $0$ todos los anteriores números deberían ser congruentes a $0$ módulo $9$ (el 0 es elemento absorbente de la mutliplicación), cosa que no es verdad ya que $1\equiv 1 \ (mod\ 9)$ (se lo puede pensar de manera muy parecida usando módulo $3$)