Selectivo Cono Sur 2015 Perú P2

[Erika]

Sean [math]a, b, c y [math]d elementos del conjunto {1, 2, 3, ..., 2014, 2015} tales que [math]a < b < c < d,
[math]a + b es un divisor de [math]c + d y [math]a + c es un divisor de [math]b + d. Determine el mayor valor
que puede tomar [math]a.

[Emerson Soriano]

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Sean [math]a, b, c , d aquellos que cumplen la condición. Hagamos [math]b=a+x, [math]c=a+x+y y [math]d=a+x+y+z, donde [math]x, y, z son enteros positivos. Según el dato del problema se cumple que [math]2a+x\mid 2a+2x+2y+z, de donde se deduce que [math]2a+x\mid x+2y+z, al cual llamaremos [math](1). También por dato del problema vemos que [math]2a+z+y\mid 2a+2x+y+z, de donde se deduce que [math]2a+x+y\mid x+z, al cual llamaremos [math](2).

Analizaremos dos casos en [math](2).

[math]1) Si [math]2a+x+y=x+z. Se tiene que [math]z=2a+y, éste último al reemplazarlo en [math](1) se obtiene que [math]2a+x\mid 3y. Luego, presentamos dos sub casos:

[math]1.1) Si [math]2a+x es coprimo con [math]3, entonces [math]2a+x\mid y, quiere decir que [math]y\geq 2a+x...[math](3). Luego, como [math]a+x+y+z\geq 2015, entonces [math]3a+x+2y\mid 2015, pero por [math](3) sabemos que [math]7a+3x\leq 3a+x+2(2a+x)\leq 3a+x+2y\leq 2015, por lo tanto [math]7a\leq 2015-3=2012, es decir, [math]a\leq 287.

[math]1.2) Si [math]2a+x es múltiplo de [math]3, entonces [math]y\geq \frac{2a+x}{3}...[math](4). Luego, [math]a+x+y+z=3a+x+2y\leq 2015, pero por [math](4) tenemos que [math]\frac{13a+5x}{3}\leq 3a+x+2y\leq 2015, por lo tanto [math]13a+5x\leq 2015\times 3, quiere decir que [math]13a\leq 3\times 2015-5, que por ende se tiene que [math]a\leq 464. Y éste valor para [math]a sí funciona, pues estos cuatro números cumplen: [math]a=464, b=466, c=776, d=2014.


[math]2) Si [math]x+z\geq 2(2a+x+y) es muy fácil llegar a que [math]a<464.

Luego, el máximo valor que puede tomar [math]a es [math]464.

[GQSAMAEL]

Sean $m$ y $n$ los enteros positivos para los que se cumple que $m(a+b)=c+d$ y $n(a+c)=b+d$. Es claro que $n>1$ pues $b+d>a+c$. Además, tenemos que $(m+1)(a+b)=a+b+c+d=(n+1)(a+c)$ y como $a+c>a+b$ se cumplirá que $m>n$. Ahora, expresemos $d$ en función de $a, b, m$ y $n$ partiendo de las ecuaciones: $$c+d=ma+mb$$ $$nc-d=b-na$$ Multiplicando por $n$ la primer y restando la segunda se obtiene $$d=\dfrac{(mn+n)a+(mn-1)b}{n+1}$$ Como $b>a$ entonces se tendrá que $$a<d\dfrac{n+1}{mn+n-1}$$ Dado que $m>n>1$ entonces $m \geq 3$ y $n \geq 2$. Luego $$\dfrac{n+1}{2mn+n-1} \leq \dfrac{n+1}{7n-1} \leq \dfrac{3}{13}$$ Con lo que $a<\dfrac{3d}{13} \leq 465$, es decir $a \leq 464$ y podemos afirmar que el mayor valor posible de $a$ es $464$ si consideramos los números $a=464$, $b=466$, $c=776$ y $d=2014$ que cumplen las condiciones del enunciado.

$(*)$ Encontrar los valores de $b, c, d$ para que se cumpla que $a=464$ es realtivamente sencillo, solo consideramos $m=3$ y $n=2$ con lo que tendríamos $d=\dfrac{8a+5b}{3}$ y $c=\dfrac{a+4b}{3}$, así que necesitaríamos que $a+b$ sea múltiplo de $3$ lo cual lo conseguimos con $b=466$ y ya sería cuestión de solo dividir para obtener los valores de $c$ y $d$.