Se tienen diez monedas indistinguibles en hilera. Se sabe que dos de ellas son falsas y están en posiciones consecutivas en la hilera. Una pregunta consiste en elegir un subconjunto cualquiera de las monedas y preguntar cuántas de ellas son falsas. Decidir si es posible identificar con certeza las monedas falsas haciendo solamente dos preguntas, sin conocer la respuesta de la primera antes de formular la segunda.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore! Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Sí se puede. Llamo a las monedas de [math]0 a [math]9: [math]0\> 1\> 2\> 3\> 4\> 5\> 6\> 7\> 8\> 9
Llamo [math]i al caso en el cual las monedas [math]i e [math]i+1 son falsas.
Formulo mis preguntas de la siguiente manera (un [math]0 quiere decir no pregunto por esa moneda, un [math]1 que sí): [math]1\> 1\> 1\> 1\> 0\> 1\> 0\> 0\> 0\> 0 [math]1\> 1\> 0\> 0\> 0\> 1\> 1\> 1\> 0\> 0
Quedan entonces las siguientes respuestas para cada caso (puse las preguntas de nuevo por si no se entendía):
Vemos que para cada caso queda un par de respuestas diferente, por lo que es posible.
Si pongo el ejemplo de cómo hacer que funcione sería muy aburrido, así que les cuento como fue mi proceso para llegar a la solución (que tampoco es mucho más divertido pero bueno). Primero veamos que hay $9$ posibles ubicaciones y también $3^2 = 9$ pares de respuestas distintas. Queremos que cada una de estas posibles respuestas esté asociada a exactamente una ubicación de las monedas.
Si nos centramos en una sola pregunta, queremos responder $0$, $1$ y $2$ la misma cantidad de veces: $3$. Si pinto de rojo las casillas que elijo y de blanco las que no elijo, respondo $2$ si hay dos rojas seguidas, $0$ si hay $2$ blancas seguidas y $1$ cuando cambia de rojo a blanco o viceversa. Se pueden armar bastantes combinaciones donde se cumple esto. Una que es particularmente cómoda de manejar es la siguiente:
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\color{white} \blacksquare & \color{white} \blacksquare & \color{white} \blacksquare & \color{white} \blacksquare & \color{red} \blacksquare & \color{white} \blacksquare & \color{red} \blacksquare & \color{red} \blacksquare & \color{red} \blacksquare & \color{red} \blacksquare \\
\hline
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & \\
\hline
\end{array}
$$ Con el cual es fácil armar otro patrón donde en cada uno de estos bloques de $3$ donde antes había respuestas todas iguales ahora hay respuestas todas distintas. $$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\color{red} \blacksquare & \color{red} \blacksquare & \color{white} \blacksquare & \color{white} \blacksquare & \color{white} \blacksquare & \color{red} \blacksquare & \color{red} \blacksquare & \color{red} \blacksquare & \color{white} \blacksquare & \color{white} \blacksquare \\
\hline
2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & \\
\hline
\end{array}
$$ Por lo tanto, haciendo estas dos preguntas se puede identificar las monedas falsas, por lo que la respuesta es que sí es posible. $\blacksquare$
