Problema 2 - Segundo Selectivo Perú - Ibero 2013

[Emerson Soriano]

sea [math]\textbf{C} una circunferencia fija, [math]A y [math]B son puntos fijos de [math]\textbf{C} (con [math]A\neq B) y [math]l una recta que corta a [math]\textbf{C}. Sea [math]P un punto variable de [math]\textbf{C} tal que los rayos [math]\overrightarrow{AP} y [math]\overrightarrow{BP} cortan a [math]l en [math]D y [math]E, respectivamente. Pruebe que la circunferencia de diámetro [math]DE es siempre tangente a dos circunferencias fijas conforme [math]P varía en [math]\textbf{C}.

[ricarlos]

Sean [math]C y [math]C' los puntos en los cuales la recta [math]l corta a la circunferencia.
Para que la circunferencia de diametro [math]DE exista, el punto [math]P debe variar en el arco [math]CC' que no contiene a [math]A ni a [math]B.
Sea [math]E' la interseccion de [math]l con la tangente a la circunferencia C en el punto [math]A y sea [math]D' la interseccion de [math]l con [math]AB. De acuerdo al Teorema de involucion de Desargues [math]C,C'; [math]D,D'; [math]E,E' forman 3 pares de puntos en involucion.
Las 2 circunferencias que nos pide el problema son las circunferencias envolventes a la familia de circunferencias de diametro [math]DE.
(observar que aqui los puntos [math]E',C,C',D' estan fijos sobre la recta [math]l)
Ver la solucion de las envolventes: http://www.mediafire.com/view/x4862v7i0 ... trigeo.doc

[Juaco]

Para que la circunferencia de diametro $DE$ exista, el punto $P$ debe variar en el arco $CC'$ que no contiene a $A$ ni a $B$.

en qué sentido decís el tema de que exista tal circunferencia? te referís a que como son rayos $A$ no puede estar entre $P$ y $D$? porque también estaba pensando que no se me ocurre que esto pueda pasar si la recta $\ell$ "separa" a los puntos $A$ y $B$ en dos arcos distintos (cosa que el enunciado no especifica, o al menos no me estoy dando cuenta).

comentario:

Spoiler: mostrar

en caso de que $A$ y $B$ queden del mismo lado de $\ell$, si $A$ queda entre $P$ y $D$ esto también se cumple y para las mismas circunferencias. en $\text{AoPS}$ vi este mismo enunciado (también como Perú TST) y decía que la recta $\ell$ no tiene que cortar a la circunferencia $\textbf{C}$, en ese caso el enunciado se sigue cumpliendo

[ricarlos]

Ta bueno el problema , eh?
Si, P puede estar en cualquier lado de C. Casi seguro que encare considerando circunferencias DE en el interior de C. sin embargo el resultado sigue siendo las mismas 2 envolventes.