P3 N2 Zonal 2010

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amcandio

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P3 N2 Zonal 2010

Mensaje sin leer por amcandio »

Sea [math] un triángulo rectángulo en [math], con [math], y [math], [math], [math] puntos de los lados [math], [math], [math], respectivamente, tales que [math] es un cuadrado. La circunferencia de centro [math] y radio [math] corta a la hipotenusa [math] en los puntos [math] y [math], con [math] entre [math] y [math], y [math] entre [math] y [math]. Si [math] y [math], calcular la longitud del segmento [math].
"Prillo es el Lanata de la trigonometria"
crimeeee
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Re: P3 N2 Zonal 2010

Mensaje sin leer por crimeeee »

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Imagen

En [math] tenemos que [math] por ser radio de la circunferencia. Como [math], entonces [math]. Además [math] por ser radio. Entonces podemos averiguar [math] por el T. de Pitágoras:

[math]. Entonces [math].

Tenemos que [math] por radio, al igual que [math]. Dado que [math] y [math] tienen sus respectivos lados paralelos, entonces son semejantes y se puede establecer lo siguiente:

[math]

[math]


[math]

[math] (periódico el 6)
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3,14

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Zonal 2010 N2

Mensaje sin leer por 3,14 »

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Llamamos al segmento [math] "[math]".Como el segmento PQ es radio de la circunferencia, entonces el lado del cuadrado medirá igual que el radio, es decir, 4.
En el triángulo PBR usamos pitágoras y obtenemos que BR es igual a 3:
[math]
Con pitágoras planteamos luego (tomando el triángulo APQ):
[math]
Tomando ahora el triángulo ABC (del cual sabemos que su hipotenusa mide (por dato) [math], y que un cateto mide [math] y el otro [math]
Planteo Pitágoras:
[math]
Aplicando cuadrado del binomio:
[math]
Y reemplazando con la fórmula obtenida anteriormente:
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
Aplicando bascara, queda:
[math]
De lo que queda que [math]
[math]
ktc123

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Re: Zonal 2010 N2

Mensaje sin leer por ktc123 »

Solución sin baskhara
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Vemos que como la semicircunferencia de centro [math] pasa por [math],[math],[math] y [math], y por ser radios de la misma, [math]. Luego por pitágoras en el triángulo [math] sale que [math]. Ahora llamemos a [math] y a [math]. Es fácil de ver que como [math] es paralelo a [math], por correspondientes entre paralelas se cumple que [math] y análogamente [math]. Con estas igualdades de ángulos concluímos que el triángulo [math] es similar al triángulo [math] y entonces se cumple esta igualdad: [math]
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El GranGero
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Re: P3 N2 Zonal 2010

Mensaje sin leer por El GranGero »

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Como la circunferencia pasa por $P, E, D, R, Q$ entonces $EP = PD = PQ = PR = 4$
Tambien sabemos que $BR = 3$ por pitagoras y que $BE = 1$
Y como tienen todos sus lados paralelos, $APQ$ y $PBR$ son semejantes.
Luego,
$\frac{RB}{PQ} = \frac{PB}{AP}$ y $\frac{3}{4} = \frac{5}{4 + AD}$
Cuando hacemos la ecuacion, pasamos los terminos y nos queda lo sgte:
$AD - 4= \frac{20}{3}$

Respuesta:
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$AD = \frac{8}{3}$
Convoco a @FabriATK a hacer el viewtopic.php?f=17&t=4307
1  
:twisted:
MathIQ

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Re: P3 N2 Zonal 2010

Mensaje sin leer por MathIQ »

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Veamos que por ser $PQ = 4$ y $PQCR$ un cuadrado, entonces $PQ = CQ = CR = RP = 4$, por estar $EP, PD$ y $PQ$ en una misma circunferencia, se tiene que $EP = PD = PQ = 4$.
Veamos que en el triángulo $BPR$, $BP = BE + EP = 1 + 4$ y $RP = 4$, de dónde por Pitágoras se tiene $BR = 3$, de donde por razones trigonométricas se tiene $R\widehat{B}P$ = $53,13010235 °$, por ser $ABC$ un triángulo rectángulo, y ya conocemos dos ángulos se tiene por la suma de los ángulos interiores de todo triángulo(180°) que $C\widehat{A}B$ = $36,86989765°$, de donde por lo mismo en el triángulo $PAQ$, $Q\widehat{P}A$ = $53,13010235°$, ahora veamos que ya conocemos un lado del mismo, $PQ = 4$, por lo tanto por razones trigonométricas sale que $PA$ = $6,\widehat{6}$, pero como $PA = PD + DA$, y $PD = 4$, se tiene que $DA$ = $2,\widehat{6}$.
:D
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Lean

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Re: P3 N2 Zonal 2010

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2323.png


Veamos el triangulo $PRB$. $PR=4$ y $PB=5$, por lo que $RB=3$
Los triangulos $AQP$ y $ACB$ son semejantes, es decir que, $\frac{CB}{AC}$ = $\frac{QP}{AQ}$.
$AQ=x$, tenemos que $\frac{7}{4+x}$ = $\frac{4}{y}$, de donde y = $\frac{16}{3}$ $\Rightarrow$ AP= $\frac{20}{3}$ $\Rightarrow$ AD = $\frac{8}{3}$
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"El mejor número es el 73".
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