El teorema de Wilson, que constituye un test determinístico de primalidad (no usado debido a la dificultad computacional que presenta) establece que:
Un número [math]n es primo sí y solo sí [math]n\mid (n-1)!+1
Veamos que ocurre si [math]n\mid (n-1)!+1. Si [math]n fuera compuesto, entonces tendría un factor primo que lo divide, digamos [math]p. Como [math]p se encuentra en los factores de [math](n-1)!, sigue que [math]p\mid (n-1)! y [math]p\mid (n-1)!+1, lo cual es imposible. Por lo tanto [math]n es primo.
Ahora demostremos que cualquier primo cumple la condición. Para ello veamos la clase de congruencia de [math](n-1)! módulo [math]n, siendo éste último un número primo.
En este factorial, todos los restos no nulos módulo n cuyo inverso multiplicativo no es el mismo resto, se anulan. Entonces debemos buscar aquellos restos que coinciden con su inverso. Llamando [math]a a la clase que se anula a sí misma, tenemos que: [math]a.a\equiv 1\pmod n [math]a^2-1\equiv 0\pmod n [math](a-1)(a+1)\equiv 0\pmod n
Como [math]n es primo, ocurre que [math]n\mid a-1 o [math]n\mid a+1, en cuyo caso los valores posibles de a son 1 y -1 mod n. En el caso del uno, este no contribuyen con el producto, mientras que el -1 sí. Quedaría que: [math](n-1)!\equiv -1\pmod n
De donde se desprende inmediatamente lo enunciado.