P3 N1 Nacional 2007

[Olímpico]

Sea [math]ABC un triángulo tal que [math]\widehat{B}=40^{\circ}. Se sabe que hay un punto [math]P de la bisectriz del ángulo [math]\widehat{B} que satisface que [math]BP= BC y [math]B\widehat{A}P=20^{\circ}. Determinar las medidas de los ángulos [math]\widehat{A} y [math]\widehat{C}.

[Agusanso]

Me dio que

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A=30 y C=110

[Olímpico]

Yo conseguí sacar los ángulos del cuadrilátero ABCP, pero luego no se me ocurrió cómo continuarlo. ¿Cómo lo sacaste?

[Agusanso]

Primero escribi esos angulitos que salen faciles( o sea los del triangulo BPC y el APB y tambien APC que es igual a 140). Bueno aca le pones un numero(tambien se puede hacer con "x" y despues se simplifica) al lado BC y ahi sacas el lado PC por teorema del seno, despues en el triangulito APC tenes dos lados y el angulo entre estos, entonces usas el teorema del coseno, de ahi sale que PCA=30 o que PAC=10.

[tuvie]

NO SE PUEDE USAR TRIGONOMETRIA EN NIVEL 1

[Ivan]

NO SE PUEDE USAR TRIGONOMETRIA EN NIVEL 1

No es cierto. Se puede usar trigonometría en cualquier nivel. Eso si, nunca hay que redondear los resultados. Siempre hay que trabajar con números exactos.

[Martín Vacas Vignolo]

Como dijo Iván, no está mal usar trigonometría. De todas formas, siempre es más "linda" una solución sin trigonometría ya que la trigonometría puede matar el problema y dejar de lado cosas muy lindas que pueden estar pasando. Acá va una sin trigonometría:

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Extendemos [math]AP, [math]BP y [math]CP hasta que corten los lados que tienen que cortar en [math]M, [math]N, [math]O respectivamente. Además, trazamos [math]OM.

Haciendo angulitos, llegamos a que los triángulos [math]BMP y [math]AOP tienen los mismos ángulos ([math]20º,40º,120º) y además por enunciado [math]BP=AP, que son los correspondientes en esa semejanza, por lo tanto esos dos triángulos son iguales. Sea [math]BM=OA=x. Por lo tanto el triángulo [math]MPO es isósceles, y por adyacentes [math]\angle MPO = 140º, o sea que [math]\angle PMO = \angle POM = 20º. O sea que [math]\angle BOM = \angle BOP - \angle MOP = 60º - 20º=40º. Por lo tanto el triángulo [math]BMO es isósceles y [math]BM=x=OM. Por angulitos ahora tenemos que [math]OMC es isósceles pues [math]\angle CMO = \angle MCO = 80º, entonces [math]CO=MO=x.

Finalmente el triángulo [math]OCA es isósceles pues tiene dos lados iguales a [math]x. O sea que [math]\angle OCA = \angle OAC = \frac{180º - \angle COA}{2}=\frac{180º-120º}{2}=30º. Entonces [math]\angle A=30º y [math]\angle C = 80º+30º=110º.

[Turko Arias]

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Como [math]\angle PBA= \angle PAB= 20 tenemos que [math]BP=PA=BC. Reflejamos [math]P por [math]AB y nos marca [math]Q. Es claro que [math]CB=BQ y como [math]\angle CBQ=60 entonces [math]CBQ es equilatero. Como [math]QB=QC=QA, [math]Q es el circuncentro de [math]ABC y por ende [math]\angle CQB es el ángulo central de la cuerda [math]CB y entonces [math]\angle CAB= \angle CQB /2= 30 y entonces [math]\angle C= 180-40-30=110.

[julianferres_]

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Prolongamos [math]CP y [math]AP que cortan a [math]AB y [math]BC en [math]O y [math]Q vemos por angulo exterior que [math]\widehat{COA}=\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=120 y [math]\widehat{AQC}=\widehat{ABQ}+\widehat{BQA}=60 luego se puede decir que [math]O es el cicuncentro de [math]QAC ya que [math]\widehat{AOC} subtiende un arco con el doble de angulo que [math]\widehat{AQC}

Luego [math]OA=OC=OQ entonces [math]OAC es isosceles con [math]\widehat{A}=\widehat{OCA}=\frac{180-120}{2}=30

Entonces los angulos son [math]\widehat{B}=30 y [math]\widehat{C}=110. [math]\blacksquare

[CarlPaul_153]

luego se puede decir que [math]O es el cicuncentro de [math]QAC ya que [math]\widehat{AOC} subtiende un arco con el doble de angulo que [math]\widehat{AQC}

Soy yo o esto no es necesariamente cierto?