Sea [math]ABC un triángulo tal que [math]\widehat{B}=40^{\circ}. Se sabe que hay un punto [math]P de la bisectriz del ángulo [math]\widehat{B} que satisface que [math]BP= BC y [math]B\widehat{A}P=20^{\circ}. Determinar las medidas de los ángulos [math]\widehat{A} y [math]\widehat{C}.
Primero escribi esos angulitos que salen faciles( o sea los del triangulo BPC y el APB y tambien APC que es igual a 140). Bueno aca le pones un numero(tambien se puede hacer con "x" y despues se simplifica) al lado BC y ahi sacas el lado PC por teorema del seno, despues en el triangulito APC tenes dos lados y el angulo entre estos, entonces usas el teorema del coseno, de ahi sale que PCA=30 o que PAC=10.
tuvie escribió:NO SE PUEDE USAR TRIGONOMETRIA EN NIVEL 1
No es cierto. Se puede usar trigonometría en cualquier nivel. Eso si, nunca hay que redondear los resultados. Siempre hay que trabajar con números exactos.
Como dijo Iván, no está mal usar trigonometría. De todas formas, siempre es más "linda" una solución sin trigonometría ya que la trigonometría puede matar el problema y dejar de lado cosas muy lindas que pueden estar pasando. Acá va una sin trigonometría:
Extendemos [math]AP, [math]BP y [math]CP hasta que corten los lados que tienen que cortar en [math]M, [math]N, [math]O respectivamente. Además, trazamos [math]OM.
Haciendo angulitos, llegamos a que los triángulos [math]BMP y [math]AOP tienen los mismos ángulos ([math]20º,40º,120º) y además por enunciado [math]BP=AP, que son los correspondientes en esa semejanza, por lo tanto esos dos triángulos son iguales. Sea [math]BM=OA=x. Por lo tanto el triángulo [math]MPO es isósceles, y por adyacentes [math]\angle MPO = 140º, o sea que [math]\angle PMO = \angle POM = 20º. O sea que [math]\angle BOM = \angle BOP - \angle MOP = 60º - 20º=40º. Por lo tanto el triángulo [math]BMO es isósceles y [math]BM=x=OM. Por angulitos ahora tenemos que [math]OMC es isósceles pues [math]\angle CMO = \angle MCO = 80º, entonces [math]CO=MO=x.
Finalmente el triángulo [math]OCA es isósceles pues tiene dos lados iguales a [math]x. O sea que [math]\angle OCA = \angle OAC = \frac{180º - \angle COA}{2}=\frac{180º-120º}{2}=30º. Entonces [math]\angle A=30º y [math]\angle C = 80º+30º=110º.
Como [math]\angle PBA= \angle PAB= 20 tenemos que [math]BP=PA=BC. Reflejamos [math]P por [math]AB y nos marca [math]Q. Es claro que [math]CB=BQ y como [math]\angle CBQ=60 entonces [math]CBQ es equilatero. Como [math]QB=QC=QA, [math]Q es el circuncentro de [math]ABC y por ende [math]\angle CQB es el ángulo central de la cuerda [math]CB y entonces [math]\angle CAB= \angle CQB /2= 30 y entonces [math]\angle C= 180-40-30=110.
Prolongamos [math]CP y [math]AP que cortan a [math]AB y [math]BC en [math]O y [math]Q vemos por angulo exterior que [math]\widehat{COA}=\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=120 y [math]\widehat{AQC}=\widehat{ABQ}+\widehat{BQA}=60 luego se puede decir que [math]O es el cicuncentro de [math]QAC ya que [math]\widehat{AOC} subtiende un arco con el doble de angulo que [math]\widehat{AQC}
Luego [math]OA=OC=OQ entonces [math]OAC es isosceles con [math]\widehat{A}=\widehat{OCA}=\frac{180-120}{2}=30
Entonces los angulos son [math]\widehat{B}=30 y [math]\widehat{C}=110. [math]\blacksquare
Julian_Ferres escribió:luego se puede decir que [math]O es el cicuncentro de [math]QAC ya que [math]\widehat{AOC} subtiende un arco con el doble de angulo que [math]\widehat{AQC}
Soy yo o esto no es necesariamente cierto?
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.