Hallar todos los números naturales $n$ tales que $\left \lfloor \frac{n^2}{5}\right \rfloor$ es un número primo.
Aclaración: Los corchetes indican la parte entera del numero que encierran.
Por ejemplo, $\left \lfloor \frac{100}{5}\right \rfloor =20$, $\left \lfloor \frac{121}{5}\right \rfloor =24$.
Ahora separamos en casos según el valor de [math]r:
Caso r=0:
Tenemos que [math]\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2 y la única solución es [math]k=1 (o sea [math]n=5).
Caso r=1:
Tenemos que [math]\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2+2k=k(5k+2) y la única solución es [math]k=1 (o sea [math]n=6).
Caso r=2:
Tenemos que [math]\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2+4k=k(5k+4) y el único valor de [math]k que podría andar es [math]k=1, que no funciona.
Caso r=3:
Tenemos que [math]\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2+6k+1=(k+1)(5k+1) el único valor de [math]k que podría andar es [math]k=0, pero no funciona.
Caso r=4:
Tenemos que [math]\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2+8k+3=(k+1)(5k+3) y la única solución es [math]k=0 (o sea [math]n=4).
Entonces las únicas soluciones son [math]n=4, [math]n=5 y [math]n=6.
Los únicos restos posibles de [math]n^2 en la división por [math]5 son [math]0, [math]1 y [math]4.
Tenemos que:
[math]\left\lfloor \frac{n^2}{5} \right\rfloor = \frac{n^2 - r}{5} \quad \text{donde } r \text{ es el resto de } n^2 \text{ en la división por } 5
Veamos el caso en que [math]n^2 \equiv 0 \mod 5, esto implica que [math]n \equiv 0 \mod 5 ya que [math]5 es primo y por lo tanto existe inverso. Por lo tanto podemos decir que
Nuestro objetivo era obtener [math]\left\lfloor \frac{n^2}{5} \right\rfloor = 5t^2 primo, la única forma es si [math]t = 1. Con esto obtenemos el primer caso, [math]n = 5.
Ahora veamos el caso [math]n^2 \equiv 1 \mod 5 entonces [math]\frac{n^2 - 1}{5} = \frac{(n + 1)(n - 1)}{5}. Este valor es primo sii:
[math]n + 1 = 5 \text{ y } n - 1 \text{ es primo, o si } n - 1 = 5 \text{ y } n + 1 \text{ es primo}
Esto nos da otras dos soluciones: [math]n = 4 y [math]n = 6.
Por último, si [math]n^2 \equiv 4 \mod 5 entonces [math]\frac{n^2 - 4}{5} = \frac{(n + 2)(n - 2)}{5}. Este valor es primo sii:
[math]n + 2 = 5 \text{ y } n - 2 \text{ es primo, o si } n - 2 = 5 \text{ y } n + 2 \text{ es primo}
Con esto determinamos que no hay soluciones con [math]n^2 \equiv 4 \mod 5.
Por lo tanto, las únicas soluciones son [math]n = 4, [math]n = 5 y [math]n = 6.
Escribamos $n=5k+r$, con $0\leq r<5$.
Tenemos $$\frac{n^2}{5}=\frac{(5k+r)^2}{5}=\frac{25k^2+10kr+r^2}{5}=5k^2+2kr+\frac{r^2}{5}$$ Luego $$\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2+2kr+\left\lfloor \frac{r^2}{5} \right\rfloor$$ Ahora separamos en casos según el valor de $r$:
Caso r=0:
Tenemos que $\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2$ y la única solución es $k=1$ (o sea $n=5$).
Caso r=1:
Tenemos que $\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2+2k=k(5k+2)$ y la única solución es $k=1$ (o sea $n=6$).
Caso r=2:
Tenemos que $\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2+4k=k(5k+4)$ y el único valor de $k$ que podría andar es $k=1$, que no funciona.
Caso r=3:
Tenemos que $\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2+6k+1=(k+1)(5k+1)$ el único valor de $k$ que podría andar es $k=0$, pero no funciona.
Caso r=4:
Tenemos que $\left\lfloor \frac{n^2}{5}\right\rfloor = 5k^2+8k+3=(k+1)(5k+3)$ y la única solución es $k=0$ (o sea $n=4$).
Entonces las únicas soluciones son $n=4$, $n=5$ y $n=6$.
Para cada $r$ no entiendo de dónde sacás cada solución ¿Por qué $k > 1$ es falso para $r=0$? No lo explicas para ningún caso y no me parece para nada obvio.
Peznerd escribió: ↑Vie 08 Nov, 2019 11:42 pm
Para cada $r$ no entiendo de dónde sacás cada solución ¿Por qué $k > 1$ es falso para $r=0$? No lo explicas para ningún caso y no me parece para nada obvio.
Si $5k^2$ es un número primo entonces $k=1$. En los otros casos la idea es la misma: tenemos una factorización de un número que queremos que sea primo, entonces alguno de los factores tiene que ser uno.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Peznerd escribió: ↑Vie 08 Nov, 2019 11:42 pm
Para cada $r$ no entiendo de dónde sacás cada solución ¿Por qué $k > 1$ es falso para $r=0$? No lo explicas para ningún caso y no me parece para nada obvio.
Si $5k^2$ es un número primo entonces $k=1$. En los otros casos la idea es la misma: tenemos una factorización de un número que queremos que sea primo, entonces alguno de los factores tiene que ser uno.
Los únicos restos posibles de $n^2$ en la división por $5$ son $0$, $1$ y $4$.
Tenemos que:
$$\left\lfloor \frac{n^2}{5} \right\rfloor = \frac{n^2 - r}{5} \quad \text{donde } r \text{ es el resto de } n^2 \text{ en la división por } 5$$
Veamos el caso en que $n^2 \equiv 0 \mod 5$, esto implica que $n \equiv 0 \mod 5$ ya que $5$ es primo y por lo tanto existe inverso. Por lo tanto podemos decir que $$n = 5t \quad \Rightarrow \quad n^2 = 5^2t^2 \quad \Rightarrow \quad \left\lfloor \frac{n^2}{5} \right\rfloor = \frac{n^2 - 0}{5} = 5t^2 \quad \text{con } t \in \mathbb{N}$$
Nuestro objetivo era obtener $\left\lfloor \frac{n^2}{5} \right\rfloor = 5t^2$ primo, la única forma es si $t = 1$. Con esto obtenemos el primer caso, $n = 5$.
Ahora veamos el caso $n^2 \equiv 1 \mod 5$ entonces $\frac{n^2 - 1}{5} = \frac{(n + 1)(n - 1)}{5}$. Este valor es primo sii:
$$n + 1 = 5 \text{ y } n - 1 \text{ es primo, o si } n - 1 = 5 \text{ y } n + 1 \text{ es primo}$$
Esto nos da otras dos soluciones: $n = 4$ y $n = 6$.
Por último, si $n^2 \equiv 4 \mod 5$ entonces $\frac{n^2 - 4}{5} = \frac{(n + 2)(n - 2)}{5}$. Este valor es primo sii:
$$n + 2 = 5 \text{ y } n - 2 \text{ es primo, o si } n - 2 = 5 \text{ y } n + 2 \text{ es primo}$$
Con esto determinamos que no hay soluciones con $n^2 \equiv 4 \mod 5$.
Por lo tanto, las únicas soluciones son $n = 4$, $n = 5$ y $n = 6$.
Como te aseguras de que no haya otro numero que cumpla con que n-1 = 5 y que n+1 sea un numero primo al reves? O sea, me dieron esos valores, n=4 y n=6 pero como te aseguras que sean los unicos valores?
Primero hagamos una tablita para ver los posibles restos de $n^2$ módulo $5$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
n & n^2 \pmod 5 \\
\hline
0 & 0 \\
1 & 1 \\
2 & 4 \\
3 & 4 \\
4 & 1 \\
\hline
\end{array}
Por lo tanto podemos ver estos tres casos.
Si $n^2 \equiv 0 \pmod 5$ entonces buscamos que $$
\frac{n^2}{5} = p \Leftrightarrow n^2 = 5p
$$ Por lo que $$
5 \mid n^2 \Leftrightarrow 5 \mid n
$$ Y reemplazando con $n=5m$ obtenemos $$
(5m)^2 = 5p \Leftrightarrow 25m^2 = 5p \Leftrightarrow 5m^2 = p
$$ de dónde $m^2 \mid p \Leftrightarrow m^2 = 1 \vee m^2 = p$. Como $m$ es natural, la única solución es $m = 1 \Rightarrow p = 5$.
Por lo tanto en este caso hay una sola solución que es $n=5$.
Si $n^2 \equiv 1 \pmod 5$ entonces buscamos que $$
\frac{n^2 - 1}{5} = p \Leftrightarrow n^2 - 1 = 5p \Leftrightarrow (n + 1)(n - 1) = 5p
$$ y como $n + 1 \mid 5p$ nos quedan pocas posibilidades $$
\begin{cases}
n + 1 = 5p \\
n - 1 = 1
\end{cases} \Rightarrow 2 = 5p - 1 \Rightarrow p \not \in \mathbb{N} \\
\begin{cases}
n + 1 = 1 \\
n - 1 = 5p
\end{cases} \Rightarrow 2 = 1 - 5p \Rightarrow p < 0 \\
\begin{cases}
n + 1 = p \\
n - 1 = 5
\end{cases} \Rightarrow 2 = p - 5 \Rightarrow p = 7 \\
\begin{cases}
n + 1 = 5 \\
n - 1 = p
\end{cases} \Rightarrow 2 = 5 - p \Rightarrow p = 3
$$ Con lo cual en este caso tenemos dos soluciones, $n = 6$ y $n = 4$.
Si $n^2 \equiv 4 \pmod 5$ entonces buscamos que $$
\frac{n^2 - 4}{5} = p \Leftrightarrow n^2 - 4 = 5p \Leftrightarrow (n + 2)(n - 2) = 5p
$$ y como $n + 2 \mid 5p$ nos quedan pocas posibilidades $$
\begin{cases}
n + 2 = 5p \\
n - 2 = 1
\end{cases} \Rightarrow 4 = 5p - 1 \Rightarrow p = 1 \Rightarrow p \not \in \mathbb{P} \\
\begin{cases}
n + 2 = 1 \\
n - 2 = 5p
\end{cases} \Rightarrow 4 = 1 - 5p \Rightarrow p < 0\\
\begin{cases}
n + 2 = p \\
n - 2 = 5
\end{cases} \Rightarrow 4 = p - 5 \Rightarrow p = 9 \Rightarrow p \not \in \mathbb{P} \\
\begin{cases}
n + 2 = 5 \\
n - 2 = p
\end{cases} \Rightarrow 4 = 5 - p \Rightarrow p = 1 \Rightarrow p \not \in \mathbb{P}
$$ Con lo cual para este caso no hay soluciones.
Por lo tanto, hay tres soluciones, $n = 4$, $n = 5$ y $n = 6$. $\blacksquare$