Maratón de Problemas

[Emerson Soriano]

Solución al problema 376.

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Sea $f(1)=k$ para algún entero positivo $k$. Diremos que un entero positivo $m$ es bueno si $f(m)=mk$.

Primero demostraremos que todos los divisores positivos de un número bueno también son buenos. En efecto, sea $m$ un número bueno y sea $a$ un divisor positivo de $m$, entonces $ab=m$ para algún entero positivo $b$. Tomando los números $a$ y $b$ para la igualdad del problema, tenemos que
$$f(m)=f(ab)=[a, b]\cdot \left ( f(a), f(b) \right ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} abk=[a, b]\cdot \left ( f(a), f(b) \right ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \left ( \frac{ab}{[a, b]} \right )k=\left ( f(a), f(b) \right ).$$
Por lo tanto, $k\mid f(a)$. Luego, tomando los números $a$ y $1$, tenemos que
$$f(a\cdot 1)=[a, 1]\cdot \left ( f(a), f(1) \right ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} f(a)=a\cdot \left ( f(a), k \right ).$$
pero como $k\mid f(a)$, entonces $\left ( f(a), k \right )=k$ y $f(a)=ak$, concluyendo que $a$ es bueno.

Ahora, demostraremos que todos los enteros positivos son buenos, para esto, tomemos un entero positivo $n$ arbitrario. Tomando los números $nk$ y $1$, tenemos que
$$f(nk)=[nk, 1]\cdot \left ( f(nk), f(1) \right ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} f(nk)=(nk)\cdot \left ( f(nk), k \right ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} k\mid f(nk).$$
Sabiendo esto, tenemos que $\left ( f(nk), k \right )=k$ y $f(nk)=nk^2$, concluyendo que $nk$ es bueno, luego, como $n$ es divisor positivo de $nk$, entonces $n$ también es bueno.

Finalmente, las funciones que satisfacen son $f(n)=nk$, donde $k$ es un entero positivo.

[Emerson Soriano]

Aprovechando que el último problema propuesto fue de MCD y MCM, propongo uno del mismo tema.

Problema 377
Mary escribe un entero positivo en cada vértice de un pentágono regular, de tal manera que los cinco números escritos sean distintos. Después, en cada lado del pentágono escribe el mínimo común múltiplo de los dos números escritos en sus extremos. Al finalizar, Mary se da cuenta que los números escritos en los lados del pentágono son todos iguales. ¿Cuál es el mínimo valor que puede tomar el número escrito en los lados del pentágono?

[Fran5]

Solución 377

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Tenemos cinco números distintos escritos, y como cada uno de ellos divide al mismo mínimo común múltiplo $m$, necesariamente este número $m$ posee al menos $5$ divisores distintos. Además, ninguno de los cinco números escritos puede ser igual a $1$, con lo que $m$ tiene al menos $6$ divisores distintos. Veamos tres casos:

$m$ posee un único divisor primo:

• En este caso, tenemos $m = p^n \geq 2^5 = 32$

$m$ posee exactamente dos divisores primos

• En este caso, tenemos $m = p^aq^b$ con $(a+1)(b+1) \geq 6$ y $a \geq b \geq 1$.
• Claramente $a=b=1$ es imposible, mientras que $a=2, b=1$ implica $m = p^2q$, con $[p,q] \neq m$, $[p,pq] \neq m$, $[p,p^2] \neq m$.
• Luego $a+b \geq 4$. Si $a=2$ entonces $b=2$, entonces $m \geq 2^23^2 = 36 > 30$.
• Si $a=3$, entonces $m \geq 2^33^1 = 24$.
  Si $m=p^3q$ entonces sus divisores distintos a $1$ son $p,p^2,p^3,q,qp,qp^2, qp^3$, con $p,p^2$ pudiendo ser vecinos sólo de $qp^3$, lo que sólo permitiría escribir $p^3,q,qp,qp^2,qp^3$, sin embargo $[q,qp] \neq m,$ y $[q, qp^2]=[qp,qp^2] \neq m$ de modo que $m =p^3q$ es imposible
• Si $a > 3$, entonces $m \geq 2^4 3 = 48$.

$m$ posee al menos tres divisores primos

• En este caso, $m \geq 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$, y tenemos ejemplo escribiendo $2,15,6,5,30$ en ese orden

[Fran5]

Problema 378

Sea $ABC$ un triangulo tal que $\angle ACB>90^\circ$ y sea $D$ el punto de la recta $BC$ tal que $AD$ es perpendicular a $BC$. Considera $\Gamma$ la circunferencia de diámetro $BC$. Una recta que pasa por $D$ es tangente a la circunferencia $\Gamma$ en $P$, corta al lado $AC$ en $M$ ($M$ entre $A$ y $C$) y corta al lado $AB$ en $N$. Demostrar que $M$ es el punto medio de $DP$ si y sólo si $N$ es el punto medio de $AB$.

[Juaco]

Solución 378

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Sea $\omega$ la circunferencia de diámetro $AB$ y $R=\omega \cap \Gamma$.

Maratón P378.jpg

Como $A\hat{R}B=90^\circ =C\hat{R}B$ tenemos que $A,C,R$ están alineados.

• parte 1: si $N$ es punto medio de $AB$ entonces $M$ es punto medio de $DP$

Como $N$ es punto medio de $AB$ entonces es circuncentro de $\triangle ABD\Rightarrow NB=ND\Rightarrow M\hat{D}C=N\hat{D}B=N\hat{B}D=A\hat{B}D=A\hat{R}D=M\hat{R}D$

Entonces por semejanza y por potencia tenemos $MD^2=MC\cdot MR=MP^2\Rightarrow MP=MD$


•parte 2: si $M$ es punto medio de $DP$ entonces $N$ es punto medio de $AB$

$MD^2=MP^2=MC\cdot MR$ y por semejanza $M\hat{R}D=M\hat{D}C$ y entonces $N\hat{B}D=A\hat{B}D=A\hat{R}D=M\hat{R}D=M\hat{D}C=N\hat{B}D\Rightarrow NB=ND$ y como además en la $\text{Hipotenusa}$ es circuncentro y por lo tanto punto medio

[Juaco]

Problema 379:
Sea $F_n$ el $n$-ésimo número de la sucesión de Fibonacci. Pruebe que existen infinitos naturales $n$ tales que $n$ divide a $F_{F_n}$ pero no divide a $F_n$

[Emerson Soriano]

Pista

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Si $n$ cumple, entonces $F_n$ también cumple.

Solución 379

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Mediante inducción matemática podemos deducir lo siguiente:

• $2\mid F_n \hspace{0.1cm}\Leftrightarrow\hspace{0.1cm} 3\mid n$.
• $3\mid F_n \hspace{0.1cm}\Leftrightarrow\hspace{0.1cm} 4\mid n$.
• $4\mid F_n \hspace{0.1cm}\Leftrightarrow\hspace{0.1cm} 6\mid n$.
• $8\mid F_n \hspace{0.1cm}\Leftrightarrow\hspace{0.1cm} 6\mid n$.
• $27\mid F_n \hspace{0.1cm}\Leftrightarrow\hspace{0.1cm} 24\mid n$.

En síntesis,

• $6\mid F_n \hspace{0.1cm}\Leftrightarrow\hspace{0.1cm} 12\mid n$.
• $24\mid F_n \hspace{0.1cm}\Leftrightarrow\hspace{0.1cm} 12\mid n$.
• $108\mid F_n$ si y solo si $24\mid n$.

Con respecto al problema, es claro que $108\nmid F_{108}$, pues $24\nmid 108$.

Observemos que$$27\mid F_{F_{108}} \hspace{0.1cm}\Leftrightarrow\hspace{0.1cm} 24\mid F_{108} \hspace{0.1cm}\Leftrightarrow\hspace{0.1cm} 12\mid 108.$$También observemos que$$4\mid F_{F_{108}} \hspace{0.1cm}\Leftrightarrow\hspace{0.1cm} 6\mid F_{108} \hspace{0.1cm}\Leftrightarrow\hspace{0.1cm} 12\mid 108.$$Puesto que $12$ sí divide a $108$, deducimos que $4\mid F_{F_{108}}$ y $27\mid F_{F_{108}}$, en consecuencia, tenemos que $108\mid F_{F_{108}}$.

Estos argumentos nos muestran que $108$ es un número que satisface las condiciones del problema. Ahora, demostraremos que hay infinitos números que satisfacen las condiciones del problema, para esto, es suficiente demostrar que si $n$ cumple, entonces $F_n$ también cumple. En efecto, supongamos que un entero positivo $n$ satisface las condiciones del problema, es decir, $n\nmid F_n$ y $n\mid F_{F_n}$.

Sabemos que $\operatorname{mcd}\left (F_n,F_{F_n}\right )=F_{\operatorname{mcd}\left (n,F_n\right )}$, pero como $n\nmid F_n$, entonces $k=\operatorname{mcd}\left (n,F_n\right )<n$ y $\operatorname{mcd}\left (F_n,F_{F_n}\right )=F_k<F_n$, lo cual implica que $F_n\nmid F_{F_n}$.

Por otro lado, tenemos que
$$\operatorname{mcd}\left (F_n,F_{F_{F_n}}\right )=F_{\operatorname{mcd}\left (n,F_{F_n}\right )}=F_n,$$
lo cual significa que $F_n\mid F_{F_{F_n}}$. Por lo tanto, $F_n$ también cumple las condiciones del problema, quedando completa la solución.

[Emerson Soriano]

Problema 380
Determine el mayor valor que puede tomar la expresión:$$\text{mcd}\left (ab+1,bc+1,ca+1\right ),$$donde $a$, $b$ y $c$ son enteros positivos distintos tales que $a+b+c=547$.

[Emerson Soriano]

Soluciono el problema 380 para que no pasen tantos días.

Solución al problema 380.

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Sea $d=\text{mcd}(ab+1, bc+1, ca+1)$. Puesto que $d\mid ab+1$, entonces $d$ y $a$ son coprimos. Análogamente se deduce que $d$ es coprimo con $b$ y $c$.

Como $d\mid ca+1$ y $d\mid bc+1$, entonces $d$ divide a la diferencia $(ca+1)-(bc+1)$, es decir, $d\mid c(a-b)$, luego, como $d$ y $c$ son coprimos, se deduce que $d\mid a-b$, lo cual nos conlleva a la congruencia $a\equiv b\pmod d$. Análogamente se deduce que $b\equiv c\pmod d$, en consecuencia, tenemos que $a\equiv b\equiv c\pmod d$. Note, además, que al menos uno de los números $a$, $b$ o $c$ es mayor que $d$, de lo contrario se tendría que $a=b=c$.

Puesto que $d\mid ab+1$, entonces
$$ab+1\equiv 0\pmod d \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} a^2+1\equiv 0\pmod d.$$
Como $a+b+c=547$, entonces
$$547\equiv a+b+c\equiv 3a\pmod d \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} 547^2+9\equiv 9(a^2+1)\equiv 0\pmod d,$$
de donde se deduce que
\begin{align*}
d\mid 547^2+9=299218 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} d\mid 2\cdot 41^2\cdot 89. \tag{1}
\end{align*}
De $(1)$ podemos deducir que los únicos factores primos que puede tener $d$ están en el conjunto $\left \{ 2, 41, 89 \right \}$. Además, $d$ no puede tener los factores primos $41$ y $89$ en simultáneo y tampoco puede ser divisible por $41^2$, ya que en cualquiera de estos casos se tendría que $d\geq 41\cdot 41=1681$, en consecuencia, alguno de los números $a$, $b$ o $c$ es mayor o igual que $1681$, lo cual es absurdo. Esto quiere decir que los únicos valores que podría tomar $d$ son $1$, $2$, $41$, $89$, $2\cdot 41$ o $2\cdot 89$. Es conveniente analizar cuando $d$ es múltiplo de $89$, pues si encontramos alguna solución para este caso podremos ignorar los valores $1$, $2$, $41$ y $2\cdot 41$, ya que estos valores son menores que $89$.

Supongamos que $d$ es múltiplo de $89$, entonces
$$a\equiv b\equiv c\pmod {89} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} 547\equiv 3a\pmod {89} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} a\equiv 34\pmod {89}.$$
Luego, existen números enteros no negativos $x$, $y$, $z$ tales que
$$a=89x+34,\hspace{0.4cm} b=89y+34 \hspace{0.4cm}\text{y}\hspace{0.4cm} c=89z+34.$$
Sumando miembro a miembro, tenemos que $547=a+b+c=89(x+y+z)+102$, de donde $x+y+z=5$. Como $a$, $b$ y $c$ son distintos, entonces $x$, $y$, $z$ también son distintos, luego, al menos uno de los números $x$, $y$, $z$ es igual a $0$. Supongamos sin pérdida de generalidad que $x=0$, entonces $a=34$, $ab+1$ es impar y, por consiguiente, $d$ es impar, descartando el valor de $2\cdot 89$. Para garantizar que $89$ es el mayor valor que puede tomar $d$ es suficiente tomar $a=34$, $b=123$ y $c=390$.

[Emerson Soriano]

Problema 381.
Los números reales $x\geq 0$, $y>0$, $z>0$ satisfacen la siguiente igualdad:
$$\frac{4x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=2.$$
Calcular el valor de $\dfrac{x+z}{y}$.