Teorema de Carnot

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amcandio

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Teorema de Carnot

Mensaje sin leer por amcandio »

Sea $ABC$ un triángulo, y sean $P$, $Q$, $R$ tres puntos en el plano. Entonces las rectas que pasan por $P$, $Q$, $R$ y son perpendiculares a $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente, son concurrentes si y sólo si$$BP^2-PC^2+CQ^2-QA^2+AR^2-RB^2=0.$$
"Prillo es el Lanata de la trigonometria"
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Ivan

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Re: Teorema de Carnot

Mensaje sin leer por Ivan »

Demostración:

Vamos a usar el siguiente lema, que suele ser muy útil cuando hay perpendicularidades:

Lema: [math] es perpendicular a [math] si y solo si [math]
Spoiler: mostrar
Para la primer parte supongamos que [math] es perpendicular a [math]. Sea [math] el punto de intersección de [math] y [math]. Por Pitágoras tenemos:
[math] y [math] luego [math].
[math] y [math] luego [math].
De estas dos igualdades obtenemos [math], que es equivalente a [math].

Ahora vamos con la vuelta. Supongamos que [math].
Vamos a usar Teorema del Coseno (también se puede argumentar de otra forma usando tramposética y evitar usar trigonometría).

[math]
[math]
[math]
[math]

Teniamos que [math]. Usando las cuatro igualdades de arriba, vemos que esto equivale a
[math]

Si [math] nos queda:
[math]

Como el primer factor es positivo sigue que [math], luego [math]. Sigue que [math] es recto, como queriamos ver.
Supongamos que las rectas perpendiculares concurren en [math]. Por el lema tenemos
[math]
[math]
[math]
Sumando estas ecuaciones y simplificando:
[math]
que es lo que queríamos ver.

La vuelta del problema sale con tramposética:

Sea [math] tal que las rectas que pasan por [math], [math], [math] y son perpendiculares a [math], [math], [math] concurren en un punto X.
Por lo que acabamos de probar [math].
Además [math].
Restando las dos ecuaciones tenemos [math].
Por el lema sigue que [math] es perpendicular a [math]. Pero [math] es perpendicular a [math].
Luego [math] es perpendicular a [math] completando la demostración.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
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El Geek
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Re: Teorema de Carnot

Mensaje sin leer por El Geek »

Hola chicos, de donde yo sé, el Teorema de Carnot dice que la suma de las distancia desde el circuncentro a los lados del triángulo es igual a la suma del circunradio con la del inradio. Revisen aquí y aquí.
Encontré más links y en ninguno apareció de la forma en que aquí se presenta :oops:

Saludos.
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Ivan

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Re: Teorema de Carnot

Mensaje sin leer por Ivan »

Es otro teorema de Carnot este, que no tiene nada que ver aparentemente.
Link: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Carnot.shtml
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
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Re: Teorema de Carnot

Mensaje sin leer por El Geek »

Vaya, Carnot es un loquillo. Gracias, no tenía idea que habían dos teoremas de Carnot.

Saludos.
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Ivan

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Re: Teorema de Carnot

Mensaje sin leer por Ivan »

El video que pasaste está mal (dicen que vale para cualquier [math] y solo vale para el circuncentro).
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
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Re: Teorema de Carnot

Mensaje sin leer por El Geek »

Bah, es que no lo vi completo, solo vi la forma de lo que quería demostrar y lo dejé, agarré lo primero que me tiró el internet (como era video y vi la forma, supuse que lo iba a enunciar bien). La idea era que se entendiera de que me refería a un problema

Disculpas por ese error. Saludos.
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Gianni De Rico

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Re: Teorema de Carnot

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Ivan escribió: Mié 02 Feb, 2011 6:40 pm Lema: $AB$ es perpendicular a $XY$ si y solo si $AX^2+BY^2=AY^2+BX^2$
Necesitaba hacer algo euclídeo después de la CUARENTENA, así que acá va otra demo
Spoiler: mostrar
Sean $\Gamma _A$ y $\Gamma _B$ las circunferencias que pasan por $X$ y tienen centro $A$ y $B$, respectivamente. Tenemos que$$AX^2+BY^2=AY^2+BX^2\iff AY^2-AX^2=BY^2-BX^2\iff \text{Pot}(Y,\Gamma _A)=\text{Pot}(Y,\Gamma _B)$$esta última condición equivale a que $Y$ esté en el eje radical de $\Gamma _A$ y $\Gamma _B$, como $X$ también lo está, equivale a que $XY$ sea el eje radical de $\Gamma _A$ y $\Gamma _B$, que equivale a que $AB$ y $XY$ sean perpendiculares.
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♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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