Sea [math]ABCD un rectángulo y [math]AC una diagonal. Se trazan desde [math]B y desde [math]D perpendiculares a la diagonal [math]AC, que la intersectan en [math]P y [math]Q, respectivamente. Se sabe que los puntos [math]P y [math]Q dividen a [math]AC en tres segmentos iguales, de longitud [math]1. Hallar el área del rectángulo [math]ABCD.
Vemos que los tres triángulos [math]ABP, [math]BCP y [math]ABC son semejantes, pues tienen los tres ángulos iguales.
Aparte, [math]c=3 pues es la suma de los tres segmentos unitarios de la diagonal [math]AC, [math]AP=2 y [math]PC=1
Por tanto, al ser semejantes [math]ABP y [math]ABC, se tiene [math]\frac{a}{2}=\frac{c}{a} [math]a^2=6
Y tambien, al ser semejantes [math]ABC y [math]BPC, se tiene [math]\frac{c}{b}=\frac{b}{1} [math]b^2=3
Sea $\angle ABP = a$
$\Rightarrow \angle PAB = 90- a$
$\Rightarrow \angle DAQ = 90 - \angle PAB = 90 - (90-a) = a$
Y $\angle QDA = 180 - \angle AQD - \angle QAD = 90 - a$
Por criterio AAA, los triangulos $APB$ y $AQD$ son semejantes.
Luego, $\frac{AQ}{BP} = \frac{QD}{AP}$
$\frac{1}{BP} = \frac{QD}{2}$
Además $\angle PBC = 90 - \angle ABP = 90-a $
Y sabemos que $BPC = 90$
Así que por critero AAA, $BCP$ y $AQD$ son semejantes. Pero como $AQ = 1 = PC$
Tenemos que $BCP$ y $AQD$ son congruentes y $QD = BP$
Así que
$\frac{1}{BP} = \frac{BP}{2}$
$BP = \sqrt{2}$
Y Area de ABCD = $\frac{AC \times BP}{2}\times 2 = 3\times \sqrt{2}$
Sabemos que la diagonal $AC$ divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos congruentes entre sí.
Y también sabemos que la altura respecto a la hipotenusa divide al triángulo rectángulo en dos triángulos semejantes. Por dato sabemos que $AP=1$ y $PC=2$. Entonces $\frac{1}{BP}=\frac{BP}{2}\Rightarrow BP=\sqrt{2}$. $$\text{área}(ABC)=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$ Pero como este triángulo es la mitad del rectángulo, $$\text{área}(ABCD)=3\sqrt{2}$$
