Primero notemos que como para cualquier [math]x el lado izquierdo da como resultado un número entero, entonces siempre el lado derecho va a ser un entero por lo cual planteamos dos casos:
-Si [math]x es entero. Entonces como la ecuación va atener resultados enteros podemos sacar los corchetes y tenemos: [math]19x + 97 = 19 + 97x\Rightarrow 78x=78\Rightarrow x=1
-Si [math]x es racional. Entonces [math]x debe ser de la forma [math]\frac{k}{97} (con [math]k entero) ya que como bien dijimos antes, el lado derecho tiene que ser entero. Ahora reemplazamos a nuestro nuevo valor de [math]x y sacamos los corchetes para ver que valores se aproximan a la solución: [math]\frac{19k}{97} + 97 = 19 + 97\frac{k}{97}\Rightarrow -\frac{78}{97}k=-78\Rightarrow k=97 (notemos que [math]x=\frac{97}{97}=1 da al mismo resultado)
Miremos dos situaciones. Si [math]k\geq 98[math]\begin{array}{|c|c|c|}\hline k&I&D\\ \hline 98&116&117\\ \hline 99&116&118\\ \hline \end{array}
Vemos que los primeros valores posibles no cumplen y es más no hay ninguno más que cumpla ya que para que el lado izquierdo aumente en uno, van a tener que pasar por lo menos cuatro valores de [math]k consecutivos , y eso significa que el lado derecho aumenta en una tasa mayor al lado derecho y por eso no existe otro valor tal que [math]I=D.
Si [math]k\leq 96[math]\begin{array}{|c|c|c|}\hline k&I&D\\ \hline 96&115&115\\ \hline 95&115&114\\ \hline \end{array}
Vemos que [math]k=96 cumple, pero luego por el mismo motivo que arriba, la tasa de decrecimiento del lado derecho es mucho más alta a la del lado izquierdo por lo cual no existe otro valor tal que [math]I=D
En conclusión los valores de [math]x que son solución son [math]1 y [math]\frac{96}{97}
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨. Contacto: [email protected]
Resolviendo esa desigualdad, te queda algo como [math]95,75 < k \leq 97, y como es entero sólo puede ser [math]96 o [math]97, de donde [math]x=1, o [math]x=\frac{96}{97}
Shain escribió: ↑Mar 25 Jun, 2024 5:10 pm
¿Que significan las ⌊ que rodean a la parte izquierda de la ecuacion?
Holaa, es la función piso. Redondea el número "x" a su entero mas cercano que sea menor que "x". Por ejemplo si x = 2,5 entonces el resultado del piso te va a dar 2. Si pones x = 3,14159 te va a dar 3. Si pones x=5 te da 5.
Por definición de la función parte entera, resulta
$$19+97x<19x+97\leq20+97x$$
Que trabajándolo un poco obtenemos
$$\frac{77}{78}<x\leq1$$
Pero veamos que $19+97x$ tiene que ser entero, o sea $97x$ tiene que ser entero (y positivo por ser mayor que $\frac{77}{78}$). Es claro que $x$ no puede ser irracional, entonces $x=\frac{p}{q}$, con $p, q\in\mathbb{N}$.
Veamos que $97\frac{p}{q}\in\mathbb{N}\Rightarrow \frac{97}{q}p\in\mathbb{N}\Rightarrow q|97\Rightarrow q=1\:\text{o}\: q=97$
Veamos que si $q=1$, el único valor que puede tomar $x$ es $1$.
Ahora veamos para $q=97$
$$\frac{77}{78}<\frac{p}{97}\leq1\Rightarrow \frac{7469}{78}<p\leq 97$$
Como $p$ es natural $95<p\leq 97$, que vemos que $p=97, q=97$ nos da $x=1$ que ya lo contamos. Y el otro valor que puede tomar $p$ que es $p=96$ es $x=\frac{96}{97}$
Entonces los $x$ reales que cumplen la ecuación son $$\left \{\frac{96}{97};1\right \}$$