Nacional 1997 N2 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
ktc123

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Nacional 1997 N2 P1

Mensaje sin leer por ktc123 »

Hallar todos los números reales $x$ que verifican$$\lfloor 19x+97\rfloor =19+97x.$$
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨. Contacto: [email protected]
ktc123

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Re: Nacional 1997 N2 P1

Mensaje sin leer por ktc123 »

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Primero notemos que como para cualquier [math] el lado izquierdo da como resultado un número entero, entonces siempre el lado derecho va a ser un entero por lo cual planteamos dos casos:

-Si [math] es entero. Entonces como la ecuación va atener resultados enteros podemos sacar los corchetes y tenemos:
[math]

-Si [math] es racional. Entonces [math] debe ser de la forma [math] (con [math] entero) ya que como bien dijimos antes, el lado derecho tiene que ser entero. Ahora reemplazamos a nuestro nuevo valor de [math] y sacamos los corchetes para ver que valores se aproximan a la solución:
[math] (notemos que [math] da al mismo resultado)

Miremos dos situaciones. Si [math] [math]

Vemos que los primeros valores posibles no cumplen y es más no hay ninguno más que cumpla ya que para que el lado izquierdo aumente en uno, van a tener que pasar por lo menos cuatro valores de [math] consecutivos , y eso significa que el lado derecho aumenta en una tasa mayor al lado derecho y por eso no existe otro valor tal que [math].

Si [math] [math]

Vemos que [math] cumple, pero luego por el mismo motivo que arriba, la tasa de decrecimiento del lado derecho es mucho más alta a la del lado izquierdo por lo cual no existe otro valor tal que [math]

En conclusión los valores de [math] que son solución son [math] y [math]
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Vladislao

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Re: Nacional 1997 N2 P1

Mensaje sin leer por Vladislao »

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Lo podés hacer más rápido notando que:

[math]

Entonces, como en la ecuación del enunciado debe ser [math] entero, entonces [math], como vos dijiste, y reemplazando:

[math]

Resolviendo esa desigualdad, te queda algo como [math], y como es entero sólo puede ser [math] o [math], de donde [math], o [math]
1  
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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Lean

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Re: Nacional 1997 N2 P1

Mensaje sin leer por Lean »

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$19+97x=[19x+97]$, por ende, $x=\frac{z}{97},z\in \mathbb{Z}$

Sea $x=\frac{z}{97} \Rightarrow 19+z=[\frac{19z}{97}+97]=97+[\frac{19z}{97}]$
$z=78+\frac{19z}{97} \pm w \Rightarrow \frac{78}{97}z=78 \pm w \Rightarrow |\frac{78}{97}z-78|<1$. Donde $w \in \mathbb{R}^+_{<1}$.
De esto, $z\in\{96,97\} \Rightarrow x\in\{1,\frac{96}{97}\}$. $\blacksquare$
"El mejor número es el 73".
Shain
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Re: Nacional 1997 N2 P1

Mensaje sin leer por Shain »

¿Que significan las ⌊ que rodean a la parte izquierda de la ecuacion?
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drynshock

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Re: Nacional 1997 N2 P1

Mensaje sin leer por drynshock »

Shain escribió: Mar 25 Jun, 2024 5:10 pm ¿Que significan las ⌊ que rodean a la parte izquierda de la ecuacion?
Holaa, es la función piso. Redondea el número "x" a su entero mas cercano que sea menor que "x". Por ejemplo si x = 2,5 entonces el resultado del piso te va a dar 2. Si pones x = 3,14159 te va a dar 3. Si pones x=5 te da 5.
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agleidhold
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Re: Nacional 1997 N2 P1

Mensaje sin leer por agleidhold »

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Por definición de la función parte entera, resulta
$$19+97x<19x+97\leq20+97x$$
Que trabajándolo un poco obtenemos
$$\frac{77}{78}<x\leq1$$
Pero veamos que $19+97x$ tiene que ser entero, o sea $97x$ tiene que ser entero (y positivo por ser mayor que $\frac{77}{78}$). Es claro que $x$ no puede ser irracional, entonces $x=\frac{p}{q}$, con $p, q\in\mathbb{N}$.
Veamos que $97\frac{p}{q}\in\mathbb{N}\Rightarrow \frac{97}{q}p\in\mathbb{N}\Rightarrow q|97\Rightarrow q=1\:\text{o}\: q=97$
Veamos que si $q=1$, el único valor que puede tomar $x$ es $1$.
Ahora veamos para $q=97$
$$\frac{77}{78}<\frac{p}{97}\leq1\Rightarrow \frac{7469}{78}<p\leq 97$$
Como $p$ es natural $95<p\leq 97$, que vemos que $p=97, q=97$ nos da $x=1$ que ya lo contamos. Y el otro valor que puede tomar $p$ que es $p=96$ es $x=\frac{96}{97}$
Entonces los $x$ reales que cumplen la ecuación son $$\left \{\frac{96}{97};1\right \}$$
1  
$\large{e^{i\pi}+1=0}$
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