Nacional 2003- P5 N1

[bruno]

En el pizarrón hay escrito un número de [math]100 dígitos con los últimos tres dígitos de la derecha iguales a [math]999. Debajo de este número, y usando exactamente los mismos dígitos, pero en otro orden, Luciano escribe un nuevo número de [math]100 dígitos: deja los tres últimos [math]999, e intercambia a voluntad los primeros [math]97 dígitos. Esta operación la repite una y otra vez, hasta tener escritos en el pizarrón [math]99 números de [math]100 dígitos. A continuación, suma esos [math]99 números, y al resultado lo divide por [math]72. Calcular el resto de la división que hizo Luciano.

[Agusanso]

Escribiria mi solucion si supiera usar bien Latex, me dio 45

[No, manzana]

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Sea [math]a_1, a_2, a_3, ..., a_{97} los primeros 97 dígitos de izquierda a derecha del número escrito por luciano, [math]b_1, b_2, b_3, ..., b_{97} una permutación cualquiera de [math]a_1, a_2, a_3, ..., a_{97} y [math]S la suma de los [math]99 números. Analicemos el resto de la suma en la división por 9 y por 8 separado. Empecemos con el resto en la división por 9, veamos que [math]10^{k} \equiv 1 \pmod {9}, y veamos que todos los números escritos en el pizarrón son de la forma [math]999+ \displaystyle \sum ^{97}_{k=1}{10^{k+2}b_k}; entonces [math]999+ \displaystyle \sum ^{97}_{k=1}{10^{k+2}b_k} \equiv \displaystyle \sum ^{97}_{k=1}{b_k} \pmod {9}; de donde [math]S \equiv 99 \displaystyle \sum ^{97}_{k=1}{a_k} \equiv 0 \pmod {9}. Ahora analicemos el resto en la división por 8, observemos que [math]10^{k+2} = 10^{k-1+3} \equiv10^{k-1}\times 10^3 \equiv 10^{k-1}\times 8\times 5^3 \equiv 0 \pmod {8} (con [math]k-1 \ge 0), luego [math]999+ \displaystyle \sum ^{97}_{k=1}{10^{k+2}b_k} \equiv 999 \equiv 7 \pmod {8}, de donde [math]S \equiv 99\times 7 \equiv 5 \pmod {8}.

Finalmente, como [math]S tiene resto 0 en la división por 9 y 5 en la división por 8 entonces tiene resto 45 en la división por 72.

[lichafilloy]

Por que si tiene resto [math]0 en la división por [math]9 y resto [math]5 en la división por [math]8 tendrá resto [math]45 en la división por [math]72 :

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Específicamente en este caso, vemos que [math]9 = 8 + 1, entonces [math]9.5 = 8.5 + 1.5 por lo que se respetaran las congruencias pedidas. Pero, en algún otro caso esta coincidencia no se dará. La otra forma de sacar el resto en la división por [math]72 es la siguiente:

[math]x \equiv0 \pmod9 y [math]x \equiv5 \pmod8. vemos que [math]8 y [math]9 son coprimos, por lo que podemos calcular el inverso de [math]9 modulo [math]8.

[math]9.1 \equiv1 \pmod8. Lo multiplicamos por [math]5 y tenemos que [math]5.9 \equiv5 \pmod8

Entonces tenemos [math]45 \equiv45 \pmod{72} como queríamos. Luego el resto de la división entre suma de los [math]99 números y [math]72 es [math]45.

[tuvie]

Primero lo clave es ver que cada numero se usa [math]99 veces, por lo que el resto en la division por [math]9 va a ser [math]0. Despues te da los ultimos [math]3 numeros para el criterio de divisiblidad por [math]8 y te fijas que numero menor a [math]72, multiplo de [math]9, tiene resto [math]5 en la division por [math]8 y este es el [math]45.

[Fran B]

Sean $x_1,x_2,x_3, ..., x_ {99}$ los $99$ números. Como los dígitos de todos los números son los mismos, al calcular la suma de los dígitos de cada número, llamemosla $k$, vemos que $x_n \equiv k (mod. 9)$ para todo $n$. Luego, $x_1+x_2+...+x_99 \equiv 99k \equiv 9 \cdot 11k \equiv 0(mod. 9)$.
Luego, todo $x_n \equiv 999 \equiv -1(mod. 8)$, por lo que $x_1+x_2+...+x_{99} \equiv -99 \equiv 5(mod. 8)$.
Los números con resto $5(mod. 8)$ menores que 72 son 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, 61, 69, de los cuales el único múltiplo de 9 es el 45, por lo que el resto de la suma que hizo Luciano es 45.

[MathIQ]

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Sabiendo que en total son 99 números y cada uno de ellos con un orden distinto de dígitos, y sabiendo que sí o sí tienen que tener los últimos 3 dígitos iguales a 999 y que una vez hecho esto los tenemos que sumar y dividirlos por 72.
Es claro que los últimos 4 dígitos serán iguales a 999 x 99 = 98.901, denominemos la suma de los 99 números como S .Sabemos que tenemos que encontrar el resto de la siguiente división:$\frac{S}{72}$ .
Si vemos ,para que 72 pueda dividir en partes enteras a S $ \Rightarrow $ se debe cumplir que $\frac{S}{9}$ y $\frac{S}{8}$ den como resultados partes enteras, ya que 8 x 9 = 72.
Sabiendo que S termina en 98.901 y que el criterio de divisibilidad del 8 dice que un número es divisible por este si sus últimos tres dígitos son múltiplos de 8 ,si hacemos $\frac{901}{8}$nos da resto 5 por lo que $\frac{S}{72}$ no va a dar un número entero, entonces nos queda buscar el resto de $\frac{S}{9}$, para esto buscaremos un ejemplo: supongamos que el número que aparecía escrito en un primer lugar tenía 97 unos y 3 nueves al final,por lo que al hacer todo lo pedido,los unos se estarían multiplicando por 99 y el 999 por 99, quedando un total de 9603 noventa y nueves (99 x 97) y 98901 al final del numero, teniendo en cuenta el criterio de divisibilidad del 9 que dice que un numero es divisible por este si la suma de sus dígitos es un número múltiplo de 9.
Y si vemos para ver si esto se cumple hacemos 18 x 97 = 1.746 (18 porque es la suma de 9 +9 que son los dígitos del 99 ,y 97 porque es la cantidad de veces que aparecen) y $\frac{1.746}{9}$ = 194 quedándonos sumarle la ultima parte que es 9+8+9+0+1 = 27 y si vemos 27 = 9 x 3 cumpliendo lo buscado por lo que S es múltiplo de 9 y para saber el resto de $\frac{S}{72}$ solo tendremos en cuenta la parte del número que ya sabemos entonces haremos $\frac{98.901}{72}$.
Concluyendo que el resto de $\frac{S}{72}$ es 45.