Nacional 2003- P5 N1

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bruno
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Nacional 2003- P5 N1

Mensaje sin leer por bruno »

En el pizarrón hay escrito un número de [math] dígitos con los últimos tres dígitos de la derecha iguales a [math]. Debajo de este número, y usando exactamente los mismos dígitos, pero en otro orden, Luciano escribe un nuevo número de [math] dígitos: deja los tres últimos [math], e intercambia a voluntad los primeros [math] dígitos. Esta operación la repite una y otra vez, hasta tener escritos en el pizarrón [math] números de [math] dígitos. A continuación, suma esos [math] números, y al resultado lo divide por [math]. Calcular el resto de la división que hizo Luciano.
Agusanso

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Re: Nacional 2003- P5 N1

Mensaje sin leer por Agusanso »

Escribiria mi solucion si supiera usar bien Latex, me dio 45
Aguante el paco vieja
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No, manzana
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Re: Nacional 2003- P5 N1

Mensaje sin leer por No, manzana »

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Sea [math] los primeros 97 dígitos de izquierda a derecha del número escrito por luciano, [math] una permutación cualquiera de [math] y [math] la suma de los [math] números. Analicemos el resto de la suma en la división por 9 y por 8 separado. Empecemos con el resto en la división por 9, veamos que [math], y veamos que todos los números escritos en el pizarrón son de la forma [math]; entonces [math]; de donde [math]. Ahora analicemos el resto en la división por 8, observemos que [math] (con [math]), luego [math], de donde [math].

Finalmente, como [math] tiene resto 0 en la división por 9 y 5 en la división por 8 entonces tiene resto 45 en la división por 72.
[math], Posta!
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Sea [math] un real, veamos que: [math], entonces [math].
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lichafilloy

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Re: Nacional 2003- P5 N1

Mensaje sin leer por lichafilloy »

Por que si tiene resto [math] en la división por [math] y resto [math] en la división por [math] tendrá resto [math] en la división por [math] :
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Específicamente en este caso, vemos que [math], entonces [math] por lo que se respetaran las congruencias pedidas. Pero, en algún otro caso esta coincidencia no se dará. La otra forma de sacar el resto en la división por [math] es la siguiente:

[math] y [math]. vemos que [math] y [math] son coprimos, por lo que podemos calcular el inverso de [math] modulo [math].

[math]. Lo multiplicamos por [math] y tenemos que [math]

Entonces tenemos [math] como queríamos. Luego el resto de la división entre suma de los [math] números y [math] es [math].
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tuvie

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Re: Nacional 2003- P5 N1

Mensaje sin leer por tuvie »

Primero lo clave es ver que cada numero se usa [math] veces, por lo que el resto en la division por [math] va a ser [math]. Despues te da los ultimos [math] numeros para el criterio de divisiblidad por [math] y te fijas que numero menor a [math], multiplo de [math], tiene resto [math] en la division por [math] y este es el [math].
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Fran B
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Re: Nacional 2003- P5 N1

Mensaje sin leer por Fran B »

Sean $x_1,x_2,x_3, ..., x_ {99}$ los $99$ números. Como los dígitos de todos los números son los mismos, al calcular la suma de los dígitos de cada número, llamemosla $k$, vemos que $x_n \equiv k (mod. 9)$ para todo $n$. Luego, $x_1+x_2+...+x_99 \equiv 99k \equiv 9 \cdot 11k \equiv 0(mod. 9)$.
Luego, todo $x_n \equiv 999 \equiv -1(mod. 8)$, por lo que $x_1+x_2+...+x_{99} \equiv -99 \equiv 5(mod. 8)$.
Los números con resto $5(mod. 8)$ menores que 72 son 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, 61, 69, de los cuales el único múltiplo de 9 es el 45, por lo que el resto de la suma que hizo Luciano es 45.
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MathIQ
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Re: Nacional 2003- P5 N1

Mensaje sin leer por MathIQ »

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Sabiendo que en total son 99 números y cada uno de ellos con un orden distinto de dígitos, y sabiendo que sí o sí tienen que tener los últimos 3 dígitos iguales a 999 y que una vez hecho esto los tenemos que sumar y dividirlos por 72.
Es claro que los últimos 4 dígitos serán iguales a 999 x 99 = 98.901, denominemos la suma de los 99 números como S .Sabemos que tenemos que encontrar el resto de la siguiente división:$\frac{S}{72}$ .
Si vemos ,para que 72 pueda dividir en partes enteras a S $ \Rightarrow $ se debe cumplir que $\frac{S}{9}$ y $\frac{S}{8}$ den como resultados partes enteras, ya que 8 x 9 = 72.
Sabiendo que S termina en 98.901 y que el criterio de divisibilidad del 8 dice que un número es divisible por este si sus últimos tres dígitos son múltiplos de 8 ,si hacemos $\frac{901}{8}$nos da resto 5 por lo que $\frac{S}{72}$ no va a dar un número entero, entonces nos queda buscar el resto de $\frac{S}{9}$, para esto buscaremos un ejemplo: supongamos que el número que aparecía escrito en un primer lugar tenía 97 unos y 3 nueves al final,por lo que al hacer todo lo pedido,los unos se estarían multiplicando por 99 y el 999 por 99, quedando un total de 9603 noventa y nueves (99 x 97) y 98901 al final del numero, teniendo en cuenta el criterio de divisibilidad del 9 que dice que un numero es divisible por este si la suma de sus dígitos es un número múltiplo de 9.
Y si vemos para ver si esto se cumple hacemos 18 x 97 = 1.746 (18 porque es la suma de 9 +9 que son los dígitos del 99 ,y 97 porque es la cantidad de veces que aparecen) y $\frac{1.746}{9}$ = 194 quedándonos sumarle la ultima parte que es 9+8+9+0+1 = 27 y si vemos 27 = 9 x 3 cumpliendo lo buscado por lo que S es múltiplo de 9 y para saber el resto de $\frac{S}{72}$ solo tendremos en cuenta la parte del número que ya sabemos entonces haremos $\frac{98.901}{72}$.
Concluyendo que el resto de $\frac{S}{72}$ es 45.
:D
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