Sea [math]ABCD un cuadrado de lados [math]AB, [math]BC, [math]CD y [math]DA. Si [math]E es el punto medio del lado [math]CD y [math]M es el punto interior del cuadrado tal que [math]\angle MAB = \angle MBC = \angle BME , calcular la medida del ángulo [math]\angle MAB.
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨
Llamé a [math]\angle MAB = \angle MBC = \angle BME = \alpha y después llamé a [math]\angle MBA = \beta, por lo tanto se que [math]\alpha + \beta = 90^{\circ}. Después en el triángulo [math]AMB es fácil ver que por la suma de los ángulos internos [math]\angle AMB = 90^{\circ}. Por otro lado, si prolongamos los segmentos [math]BC y [math]ME, se cruzan en el punto [math]F tal que el triángulo [math]MBF es isóceles porque [math]\angle MBC = \angle BME y además por la suma de los ángulos internos [math]MFB = 2\beta. También se podría decir que siendo [math]G el punto medio de [math]MB, el triángulo [math]MBF se podría dividir en dos triángulos rectángulos [math]MGF y [math]BGF que son congruentes. Por último, si prolongo el lado [math]AM hacia el lado [math]DC, se intersecarían en el punto [math]H de modo que el triángulo rectángulo [math]ADH es similar a los triángulos [math]AMB, [math]MGF y [math]BGF (ya que [math]\angle ADH= \beta y por lo tanto, [math]\angle DHA = \alpha)
Después de esto estoy seguro que hay que encontrar una proporción entre lados como para sacar el ángulo por seno, coseno o tangente pero ese es el paso q más intenté y no me salió.
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨
A mi tambien me dio [math]45.
Si pongo [math]MAB=MBC=BME=a, sigue que [math]ABM=90-a y [math]AMB=90. Luego [math]MEB=180-2a y [math]MEC=2a. Y como [math]ME=EC=DE sigue que [math]EMC=90-a. Entonces [math]AMC=90+a+(90-a)=180.
Por lo tanto [math]M es un punto de la diagonal [math]AC y sigue que [math]MAB=45
Última edición por bruno el Vie 12 Oct, 2012 2:08 am, editado 2 veces en total.
Porque estarías afirmando que $\angle DEM+\angle CEB=2\alpha$ y no entendí como lo justificaste. Además, si el punto $M$ perteneciera a la diagonal $AC$, tendría que estar situado en el centro exacto del cuadrado ya que el triángulo $ABM$ se puede circunscribir en una circunfererencia de diámetro $AB$ y por lo tanto, $M$ debería estar en la circunferencia y para que $\angle MAB = 45^\circ$, como dije antes, $M$ debería estar en el centro del cuadrado. Pero si $M$ está en el centro se contadice el enunciado ya que es fácil de ver que $\angle EMB > 90^\circ$
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨
Ya que estoy pongo mi solucion:
Al principio tenemos que MAN=MBC=BME=x, ahora tratemos de relacionar todos los angulitos posibles con "x". ABM=90-x, por esto AMB mide 90 grados. Prolonguemos AM hasta un punto P del lado CD, PAD=90-x, DPA=x, MPE=180-x, PME=90-x, PEM=2x-90, MEC=270-2x. Ahora llamemos Z al punto medio de BA y lo unimos con el punto M. que paso? bueno, el triangulito AMB era recto en M y ZM parte a la hipotenusa a la mitad, entonces.. AZ=ZM=ZB. Ahora relacionemos los nuevos angulitos con "x": AMZ=x por isosceles, AZM=180-2x; ZMB=90-x por isosceles y MZB=2x.
Ahora trazemos el segmento ZE con un punto W en el medio y trazemos entonces el segmento WM(que paso? lo mismo que antes). El triangulo ZME es recto y partimos su hipotenusa a la mitad(se que esta propiedad tenia un nombre pero no me lo acuerdo) Entonces tenemos que ZW=WM=WE, pero veamos que estos tambien son iguales a los segmentos ZA=ZM=ZB=EP=CE. Veamos que ahora aparecio un triangulo equilatero magicamente en el problema, hablo del triangulo ZWM; ahora que sabemos que sus angulos son de 60. Ahora es muy importante ver que AZW=90(es un poco obvio pero por las dudas lo hago notar). Veamos que entonces tenemos que
180-2x+60=AZW, que dijimos que mide 90.. entonces... 180-2x+60=90; resolvemos la ecuacioncita de primer grado que nos quedo y queda que x=75 que es lo que pedia el problema. Y estamos
Es claro que $AM$ y $BM$ son perpendiculares. Sea $P$ el punto medio de $AM$. La mediatriz de $AM$ corta al lado $AB$ en su punto medio $F$. Sea $\alpha =\angle MAB$. Como $\triangle MAF$ es isósceles, $\angle AMF=\angle MAF=\alpha$ y $\angle FMB=90^\circ -\alpha$. Entonces $\angle FME=\angle FMB+\angle BME=(90^\circ -\alpha )+\alpha =90^\circ$, de donde $M$ pertenece a la circunferencia de diámetro $FE$ y centro $O$. Entonces $\triangle MFO$ es equilátero, $\angle OFM=60^\circ$, $\angle MFA=30^\circ$ y $\angle MAB=(180^\circ -30^\circ )/2=75^\circ$.
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