Nacional 2004 P6N1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
ktc123

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Nacional 2004 P6N1

Mensaje sin leer por ktc123 »

Sea [math] un cuadrado de lados [math], [math], [math] y [math]. Si [math] es el punto medio del lado [math] y [math] es el punto interior del cuadrado tal que [math] , calcular la medida del ángulo [math].
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ktc123

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Re: Nacional 2004 P6N1

Mensaje sin leer por ktc123 »

Necesito ayuda para resolverlo porque me cansé de pensarlo. Acá está todo lo que pude hacer
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Llamé a [math] y después llamé a [math], por lo tanto se que [math]. Después en el triángulo [math] es fácil ver que por la suma de los ángulos internos [math]. Por otro lado, si prolongamos los segmentos [math] y [math], se cruzan en el punto [math] tal que el triángulo [math] es isóceles porque [math] y además por la suma de los ángulos internos [math]. También se podría decir que siendo [math] el punto medio de [math], el triángulo [math] se podría dividir en dos triángulos rectángulos [math] y [math] que son congruentes. Por último, si prolongo el lado [math] hacia el lado [math], se intersecarían en el punto [math] de modo que el triángulo rectángulo [math] es similar a los triángulos [math], [math] y [math] (ya que [math] y por lo tanto, [math])
Después de esto estoy seguro que hay que encontrar una proporción entre lados como para sacar el ángulo por seno, coseno o tangente pero ese es el paso q más intenté y no me salió.
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tuvie

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Re: Nacional 2004 P6N1

Mensaje sin leer por tuvie »

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Fijate que [math] y en el triangulo [math], [math] y [math]
No lo pense detenidamente, pero creo que esta bien.
EDIT: nada que ver espera que lo pienso
bruno
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Re: Nacional 2004 P6N1

Mensaje sin leer por bruno »

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A mi tambien me dio [math].
Si pongo [math], sigue que [math] y [math]. Luego [math] y [math]. Y como [math] sigue que [math]. Entonces [math].
Por lo tanto [math] es un punto de la diagonal [math] y sigue que [math]
Última edición por bruno el Vie 12 Oct, 2012 2:08 am, editado 2 veces en total.
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Martín Vacas Vignolo
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Re: Nacional 2004 P6N1

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo »

Che pero [math] no puede ser igual al lado [math], si es la mitad... No lo dibujé, pero eso seguro no funciona :P
[math]
ktc123

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Re: Nacional 2004 P6N1

Mensaje sin leer por ktc123 »

Che no entendí de donde sacaste que
bruno escribió: [math] y [math]
Porque estarías afirmando que [math] y no entendí como lo justificaste. Además, si el punto [math] perteneciera a la diagonal [math], tendría que estar situado en el centro exacto del cuadrado ya que el triángulo [math] se puede circunscribir en una circunfererencia de diámetro [math] y por lo tanto, [math] debería estar en la circunferencia y para que [math], como dije antes, [math] debería estar en el centro del cuadrado. Pero si [math] está en el centro se contadice el enunciado ya que es fácil de ver que [math]
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Agusanso

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Re: Nacional 2004 P6N1

Mensaje sin leer por Agusanso »

Aca lo hice y me dio 75 grados, estoy casi seguro de que esta bien, puede ser?
Aguante el paco vieja
Agusanso

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Re: Nacional 2004 P6N1

Mensaje sin leer por Agusanso »

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Ya que estoy pongo mi solucion:
Al principio tenemos que MAN=MBC=BME=x, ahora tratemos de relacionar todos los angulitos posibles con "x". ABM=90-x, por esto AMB mide 90 grados. Prolonguemos AM hasta un punto P del lado CD, PAD=90-x, DPA=x, MPE=180-x, PME=90-x, PEM=2x-90, MEC=270-2x. Ahora llamemos Z al punto medio de BA y lo unimos con el punto M. que paso? bueno, el triangulito AMB era recto en M y ZM parte a la hipotenusa a la mitad, entonces.. AZ=ZM=ZB. Ahora relacionemos los nuevos angulitos con "x": AMZ=x por isosceles, AZM=180-2x; ZMB=90-x por isosceles y MZB=2x.
Ahora trazemos el segmento ZE con un punto W en el medio y trazemos entonces el segmento WM(que paso? lo mismo que antes). El triangulo ZME es recto y partimos su hipotenusa a la mitad(se que esta propiedad tenia un nombre pero no me lo acuerdo) Entonces tenemos que ZW=WM=WE, pero veamos que estos tambien son iguales a los segmentos ZA=ZM=ZB=EP=CE. Veamos que ahora aparecio un triangulo equilatero magicamente en el problema, hablo del triangulo ZWM; ahora que sabemos que sus angulos son de 60. Ahora es muy importante ver que AZW=90(es un poco obvio pero por las dudas lo hago notar). Veamos que entonces tenemos que
180-2x+60=AZW, que dijimos que mide 90.. entonces... 180-2x+60=90; resolvemos la ecuacioncita de primer grado que nos quedo y queda que x=75 que es lo que pedia el problema. Y estamos
1  
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Martín Vacas Vignolo
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Re: Nacional 2004 P6N1

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo »

Hay un par de errores en la igualdad esa larga que pusiste pero está bien
[math]
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jhn

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Re: Nacional 2004 P6N1

Mensaje sin leer por jhn »

Sí, da 75 grados.
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Es claro que $AM$ y $BM$ son perpendiculares. Sea $P$ el punto medio de $AM$. La mediatriz de $AM$ corta al lado $AB$ en su punto medio $F$. Sea $\alpha =\angle MAB$. Como $\triangle MAF$ es isósceles, $\angle AMF=\angle MAF=\alpha$ y $\angle FMB=90^\circ -\alpha$. Entonces $\angle FME=\angle FMB+\angle BME=(90^\circ -\alpha )+\alpha =90^\circ$, de donde $M$ pertenece a la circunferencia de diámetro $FE$ y centro $O$. Entonces $\triangle MFO$ es equilátero, $\angle OFM=60^\circ$, $\angle MFA=30^\circ$ y $\angle MAB=(180^\circ -30^\circ )/2=75^\circ$.
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