En el tablero ya hay escritos $4$ números. En cada casilla vacía, escribir un número entero positivo de modo que en cada fila los números escritos formen una progresión aritmética y en cada columna los números escritos formen una progresión aritmética.
Aclaración: Una progresión aritmética es una secuencia de números tales que cada uno se obtiene del anterior sumando un cierto número fijo $d$ llamado diferencia o razón de la progresión.
Lo primero que hice fue tratar de establecer algún sentido en el que las razones aumentan.
Ese sentido lo establecí desde 0, donde los números aumentan hacia arriba y hacia la derecha.
Luego declaré las razones primero por linea y luego por columnas quedando 8 razones.
Si remplazamos los valors de g y h por lo que acabamos de obtener (que están en terminos de a), nos va a quedar el siguiente resultado: [math]\frac{145-2h}{3}=\frac{104-g}{2} \Rightarrow a=33
Ya con saber [math]a, podemos calcular el resto de las razones: [math]e=14 [math]b=39 [math]c=45
[math]g=2 [math]h=-4 [math]d=51 [math]f=8
Y solo les falta llenar la tabla remplazando los valores de las razones
hayequipo escribió: ↑Jue 30 Ago, 2012 8:49 pm
En el tablero ya hay escritos $4$ números. En cada casilla vacía, escribir un número entero positivo de modo que en cada fila los números escritos formen una progresión aritmética y en cada columna los números escritos formen una progresión aritmética.
Aclaración: Una progresión aritmética es una secuencia de números tales que cada uno se obtiene del anterior sumando un cierto número fijo $d$ llamado diferencia o razón de la progresión.
hayequipo escribió: ↑Jue 30 Ago, 2012 8:49 pm
En el tablero ya hay escritos $4$ números. En cada casilla vacía, escribir un número entero positivo de modo que en cada fila los números escritos formen una progresión aritmética y en cada columna los números escritos formen una progresión aritmética.
Aclaración: Una progresión aritmética es una secuencia de números tales que cada uno se obtiene del anterior sumando un cierto número fijo $d$ llamado diferencia o razón de la progresión.
Estuve intentando resolver el primero pero tuve que mover el 104 un casillero hacia arriba para que se diera la progresión Aritmética;
20240524_150835.jpg
Hola, pegale otra intentada porque se puede hacer sin tener que moverlo para arriba. Lo mas probable es que si cambias algo de info de un problema o asumís algo que no es, te van a bajar puntos o anular el problema directamente.
En una progresión aritmética, todos los términos dependen de una razón de progresión y del primer termino de la progresión. En la siguiente tabla, si fijamos al primer elemento como $a_0$ entonces todas las progresión van a depender, en parte, de este termino.
Notemos que en la primer columna, ultima fila tenemos un $0$ del cual podemos sacar información a la primera. La progresión aritmética de la primer columna nos dice que $0 = a_0 + 4d \Rightarrow d = -\frac{a_0}{4}$ para algún $d$. Luego, podemos completar la primer columna en base a $a_0$:
Ahora notemos que el $104$ de la tercer columna, cuarta fila, también nos va a dar información a partir de $a_0 - \frac{3}{4}a_0$ y una razón $d$ (distinta a la anterior). Luego, $104 = a_0 - \frac{3}{4}a_0 + 2d \Rightarrow d = \frac{104-a_0 + \frac{3}{4}a_0}{2} \Rightarrow d = \frac{416-a_0}{8}$
Podemos aplicar la misma lógica con el $184$, el cual va a depender de $a_0 - \frac{a_0}{2}$ y una razón $d$ (otra vez, distinta de las anteriores). Entonces, $184 = a_0 - \frac{a_0}{2} + 4d \Rightarrow d = \frac{184 + \frac{a_0}{2} - a_0}{4} \Rightarrow d = \frac{368 - a_0}{8}$
Y con esto ya lo tenemos prácticamente resuelto. Notemos que en la segunda columna, todos los términos dependen de $75$ y de $a_0$. Si $3$ términos consecutivos $a, b, c$ están en progresión aritmética, entonces se cumple que $\frac{a+c}{2} = b$. Luego, $a_0 - \frac{a_0}{2} + \frac{368-a_0}{8} = \frac{75 + a_0 - \frac{3}{4}a_0 + \frac{416-a_0}{8}}{2} \Rightarrow 8a_0 - 4a_0 + 368 - a_0 = 300 + 4a_0 - 3a_0 + \frac{416 - a_0}{2} \Rightarrow 6a_0 + 736 = 600 + 2a_0 + 416 - a_0 \Rightarrow 5a_0 = 280 \Rightarrow \boxed{a_0 = 56}$
Sea $F_i$ la diferencia de la fila $i$ (numeradas de abajo hacia arriba y empezando por la fila $0$).
Sea $C_j$ la diferencia de la columna $j$ (numeradas de izquierda a derecha y empezando por la columna $0$).
Sea $V_{i,j}$ el valor de la celda que se encuentra en la fila $i$ y la columna $j$.
Si tengo dos celdas $(a, b)$ y $(c, d)$ cualquier “camino” entre ellas que sólo vaya para arriba y la derecha debe cumplir que si sumo las diferencias a $V_{a,b}$ llegue a $V_{c,d}$. Para el caso donde voy de una celda $(i, j)$ a la $(i + 1, j + 1)$ se debe cumplir entonces que
$V_{i,j} + F_{i} + C_{j+1} = V_{i+1,j+1}$ y también $V_{i,j} + C_{j} + F_{i+1} = V_{i+1,j+1}$,
por lo que $F_{i} + C_{j+1} = C_{j} + F_{i+1} \Rightarrow C_{j + 1} - C_{j} = F_{i+1} - F_{i}$
Como esto se cumple para cualquier par $(i, j)$, todas estas diferencias deben ser iguales. Sea esta diferencia $d$, tenemos $C_{j + 1} - C_{j} = d$ para todo $j$ y $F_{i + 1} - F_{i} = d$ para todo $i$. O lo que es lo mismo $C_{j} = C_{0} + j \cdot d$ y $F_{i} = F_{0} + i \cdot d$
Con los datos que tenemos en el tablero entonces:
$V_{0,0} + F_{0} + 3C_{1} = V_{3,1} \Rightarrow F_{0} + 3C_{1} = 75$ (I)
$V_{0,0} + 2F_{0} + C_{2} = V_{1,2} \Rightarrow 2F_{0} + C_{2} = 104$ (II)
$V_{0,0} + 4F_{0} + 2C_{4} = V_{2,4} \Rightarrow 4F_{0} + 2C_{4} = 184$ (III)
