Provincial 2008 Nivel 2 Problema 2

[agleidhold]

En el pizarrón se ha escrito un número natural $n$ de $6$ dígitos tal que uno de los dígitos de $n$ es $7$ y $n$ es divisible por $9$.
Pablo realiza la siguiente operación: Intercambia entre si dos dígitos de $n$ y le resta a $n$ el numero obtenido. Repite la operación para cada par de dígitos de $n$.
Entre las restas que calculó Pablo (y que no son cero) hay al menos una divisible por $2525$, al menos una divisible por $2168$, al menos una divisible por $4375$ y al menos una divisible por $6875$. Hallar $n$.

[santibodetto]

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Sea $10^5 \cdot A + 10^4 \cdot B + 10^3 \cdot C + 10^2 \cdot D + 10 \cdot E + F = 9 \cdot k_0 = N$

Sean $N_1, N_2, N_3, N_4$ las variantes de $N$ que surgen tras intercambiar dos dígitos

$N - N_i = 9 \cdot (k_0 - k_i)$ ya que al intercambiar las cifras se sigue manteniendo el criterio de divisibilidad del $9$

Notemos que ninguno de los cuatro divisores dados son multiplos de $9$. Por lo que si:

$2525 \mid 9 \cdot (k_0 - k_1) \quad\Rightarrow\quad 2525 \mid (k_0 - k_1) \quad\Rightarrow\quad 9 \cdot (k_0 - k_1) = 9 \cdot (2525) \cdot R_1$

$2168 \mid 9 \cdot (k_0 - k_2) \quad\Rightarrow\quad 2168 \mid (k_0 - k_2) \quad\Rightarrow\quad 9 \cdot (k_0 - k_2) = 9 \cdot (2168) \cdot R_2$

$4375 \mid 9 \cdot (k_0 - k_3) \quad\Rightarrow\quad 4375 \mid (k_0 - k_3) \quad\Rightarrow\quad 9 \cdot (k_0 - k_3) = 9 \cdot (4375) \cdot R_3$

$6875 \mid 9 \cdot (k_0 - k_4) \quad\Rightarrow\quad 6875 \mid (k_0 - k_4) \quad\Rightarrow\quad 9 \cdot (k_0 - k_4) = 9 \cdot (6875) \cdot R_4$

con $R \in \mathbb{N}$


Notemos que al restar dos numeros con los mismos digitos, donde el sustraendo intercambia entre si dos dígitos, la diferencia siempre sera de esta forma:

$
\underbrace{0\ldots0}_{0 \text{ a } n} A \underbrace{9\ldots9}_{0 \text{ a } n} B \underbrace{0\ldots0}_{0 \text{ a } n}
\quad $

con $A, B \in \{1, 2, \ldots, 8\} \quad $

con $A + B = 9 \quad$

y con $n \in \mathbb{N}$

Esto es debido a que:

$10^5 \cdot A + 10^4 \cdot B + 10^3 \cdot C + 10^2 \cdot D + 10 \cdot E + F \equiv A + B + C + D + E + F \pmod{9}$

$N - N_1 \equiv A + B + C + D + E + F - A - B - C - D - E - F \equiv 0 \pmod{9}$


Ahora con ayuda de Casio hay que fijarse cuales de estos números cumplen con esta forma:

$9 \cdot (2525) \cdot R_1$

$9 \cdot (2168) \cdot R_2$

$9 \cdot (4375) \cdot R_3$

$9 \cdot (6875) \cdot R_4$

con $R \in \mathbb{N}$

Números encontrados:

$N - N_1 = 499950 = 2525 \cdot 198$

$N - N_2 = 799992 = 2168 \cdot 369$

$N - N_3 = 630000 = 4375 \cdot 144$

$N - N_4 = 495000 = 6875 \cdot 72$



Por lo que nos quedan estas 4 restas:

$
\begin{array}{r}
ABCDEF \\
- EBCDAF \\
\hline
499950 \\
\end{array}
\quad
\begin{array}{r}
ABCDEF \\
- FBCDEA \\
\hline
799992 \\
\end{array}
\quad
\begin{array}{r}
ABCDEF \\
- BACDEF \\
\hline
630000 \\
\end{array}
\quad
\begin{array}{r}
ABCDEF \\
- CBADEF \\
\hline
495000 \\
\end{array}
$

Por la segunda resta vemos que:

$A - 1 - F = 7$

$A \leq 9 \quad \land \quad F \geq 1 \quad \Rightarrow \quad A = 9 \quad \land \quad F = 1$

Entonces:

1) $A - 1 - E = 4 \quad \Rightarrow \quad 9 - 1 - E = 4 \quad \Rightarrow \quad E = 4$

3) $A - B - 1 = 6 \quad \Rightarrow \quad B = 2$

4) $A - 1 - C = 4 \quad \Rightarrow \quad C = E = 4$



$ABCDEF = 924\_41$

Y como un dígito tiene que ser $7$, $D = 7$

$
\frac{924741}{9} = 102749
$

Vemos que efectivamente es múltiplo de 9, por lo que $N = 924741$ es el numero que buscabamos y que cumple.