Consideramos los números enteros de [math]1 a [math]1000 inclusive. Sumamos entre sí todos los que tienen todos sus dígitos pares y sumamos entre sí todos los que tienen todos sus dígitos impares. ¿Cuál suma es mayor?
Excluyamos al [math]1000, pues tiene tres dígitos pares y un dígito impar. Trabajaremos primero con todos los números de tres cifras, luego con los de dos cifras, luego con los de una cifra.
Los dígitos pares son [math]0, [math]2, [math]4, [math]6 y [math]8 y los impares son [math]1, [math]3, [math]5, [math]7 y [math]9. Ambos son un conjunto de cinco elementos.
Hay [math]4\times 5\times 5=100 números de tres cifras que tienen todos sus dígitos pares, y hay [math]5\times 5\times 5=125 números con dígitos impares (en el primer caso, se pone [math]4 porque no contamos el [math]0 ya que sino sería de dos cifras). Veamos la suma de los de dígito par: para cada dígito que pueda ir en las centenas hay [math]5\times 5=25 números distintos. Para cada dígito que pueda ir en las decenas hay [math]4\times 5=20 números distintos. Para cada dígito que pueda ir en las unidades hay [math]4\times 5=20 números distintos. Entonces, considerando el desarrollo en base [math]10, la suma de los números de dígitos pares de tres cifras es
La primer cifra puede ser cualquiera del conjunto [math]I o [math]P, donde [math]I= \left \{ 1,3,5,7,9 \right \} y [math]P=\left \{0,2,4,6,8 \right \}
La segunda cifra puede ser cualquiera del conjunto [math]I o [math]P
Del mismo modo la ultima cifra
Notemos que como [math]0 pertenece a [math]P, el numero [math]000 aparece, pero no nos afecta en nada
Los numeros [math]0ab y [math]00b aparecen solo con los pares. Los impares los sumaremos despues.
En los pares, tenemos [math]P para la primera, [math]P para la segunda, y [math]P para la tercera
Por lo que cada número aparece en [math]|P|^2 números, donde [math]|A| es la cantidad de elementos de [math]A
Luego, como la suma de los elementos de [math]P es [math]20, tenemos que su suma es [math]2220 \cdot 25
Ahora, en los impares, tenemos [math]I para la primera, [math]I para la segunda, e [math]I para la tercera.
Del mismo modo, la suma de los elementos de [math]I es [math]25, la suma de los numeros de tres cifras impares es [math]2775 \cdot 25
Como [math]2775 \cdot 25 > 2220 \cdot 25, los impares suman mas
NOTA: No hemos considerado los numeros de uno o dos dígitos con cifras impares
La primer cifra puede ser cualquiera del conjunto [math]I o [math]P, donde [math]I= \left \{ 1,3,5,7,9 \right \} y [math]P=\left \{0,2,4,6,8 \right \}
La segunda cifra puede ser cualquiera del conjunto [math]I o [math]P
Del mismo modo la ultima cifra
Notemos que como [math]0 pertenece a [math]P, el numero [math]000 aparece, pero no nos afecta en nada
Los numeros [math]0ab y [math]00b aparecen solo con los pares. Los impares los sumaremos despues.
En los pares, tenemos [math]P para la primera, [math]P para la segunda, y [math]P para la tercera
Por lo que cada número aparece en [math]|P|^2 números, donde [math]|A| es la cantidad de elementos de [math]A
Luego, como la suma de los elementos de [math]P es [math]20, tenemos que su suma es [math]2220 \cdot 25
Ahora, en los impares, tenemos [math]I para la primera, [math]I para la segunda, e [math]I para la tercera.
Del mismo modo, la suma de los elementos de [math]I es [math]25, la suma de los numeros de tres cifras impares es [math]2775 \cdot 25
Como [math]2775 \cdot 25 > 2220 \cdot 25, los impares suman mas
NOTA: No hemos considerado los numeros de uno o dos dígitos con cifras impares
Para resolver este problema podemos decir que para cada número con sus cifras pares existe un número con sus cifras impares mayor que este (que se obtiene sumándole un 1 a cada una de sus cifras). Además este número siempre es menor que 1000(porque el numero con sus cifras pares más grande es 888) y único para cada número de dígitos pares. Si sumásemos todos los que tienen cifras pares eso nos daría un valor menor a que si sumásemos todos los números con un 1 más en sus cifras y por lo tanto la suma de los números con cifras impares es mayor.
Nota: Cada par tiene su correspondiente pero esto no pasa con todo impar (lo que no hace que la suma de los pares sea mayor).
Para resolver este problema podemos decir que para cada número con sus cifras pares existe un número con sus cifras impares mayor que este (que se obtiene sumándole un 1 a cada una de sus cifras). Además este número siempre es menor que 1000(porque el numero con sus cifras pares más grande es 888) y único para cada número de dígitos pares. Si sumásemos todos los que tienen cifras pares eso nos daría un valor menor a que si sumásemos todos los números con un 1 más en sus cifras y por lo tanto la suma de los números con cifras impares es mayor.
Nota: Cada par tiene su correspondiente pero esto no pasa con todo impar (lo que no hace que la suma de los pares sea mayor).
¡Genio! Yo fui emparejándolos pero un poquito peor. Lindo razonamiento.
Si vemos los números del rango $\left[1,10\right)$, tenemos entonces que $25 = \sum_{i=0}^4 2i+1 > \sum_{i=0}^4 2i = 20$. Generalizando ahora el resultado, entonces:
$$ \sum_{i=0}^4 (2i+1)\times 10^k > \sum_{i=0}^4 2i\times 10^k \Rightarrow$$
$$ \Rightarrow \sum_{k=0}^n \sum_{i=0}^4 (2i+1)\times 10^k > \sum_{k=0}^n \sum_{i=0}^4 2i\times 10^k$$ donde $n \in N$
Como consecuencia, entonces tenemos que la suma de todos los números con sus dígitos impares es mayor que la suma de los números con dígitos todos pares.
