Regional 1995 N3 P2

[JPablo]

Consideramos los números enteros de [math]1 a [math]1000 inclusive. Sumamos entre sí todos los que tienen todos sus dígitos pares y sumamos entre sí todos los que tienen todos sus dígitos impares. ¿Cuál suma es mayor?

[JPablo]

Spoiler: mostrar

Excluyamos al [math]1000, pues tiene tres dígitos pares y un dígito impar. Trabajaremos primero con todos los números de tres cifras, luego con los de dos cifras, luego con los de una cifra.

Los dígitos pares son [math]0, [math]2, [math]4, [math]6 y [math]8 y los impares son [math]1, [math]3, [math]5, [math]7 y [math]9. Ambos son un conjunto de cinco elementos.

Con tres cifras:

Spoiler: mostrar

Hay [math]4\times 5\times 5=100 números de tres cifras que tienen todos sus dígitos pares, y hay [math]5\times 5\times 5=125 números con dígitos impares (en el primer caso, se pone [math]4 porque no contamos el [math]0 ya que sino sería de dos cifras). Veamos la suma de los de dígito par: para cada dígito que pueda ir en las centenas hay [math]5\times 5=25 números distintos. Para cada dígito que pueda ir en las decenas hay [math]4\times 5=20 números distintos. Para cada dígito que pueda ir en las unidades hay [math]4\times 5=20 números distintos. Entonces, considerando el desarrollo en base [math]10, la suma de los números de dígitos pares de tres cifras es

[math]{25\left ( 2\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{2}+6\cdot 10^{2}+8\cdot 10^{2} \right )+20\left ( 0\cdot 10+2\cdot 10+4\cdot 10+6\cdot 10+8\cdot 10 \right )+20\left ( 0+2+4+6+8 \right )}

Que nos da [math]54400.

Ahora, para los dígitos impares: para cada dígito en cada posición hay [math]5\times 5=25 números posibles. Entonces la suma es

[math]{25\left ( 1\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{2}+5\cdot 10^{2}+7\cdot 10^{2}+9\cdot 10^{2} \right )+25\left ( 1\cdot 10+3\cdot 10+5\cdot 10+7\cdot 10+9\cdot 10 \right )+25\left ( 1+3+5+7+9 \right )}

Que nos da [math]69375.

Con dos cifras:

Spoiler: mostrar

Tenemos [math]4\times 5=20 números de dígitos pares y [math]5\times 5=25 números de dígitos impares.

Para el caso de los pares, tenemos [math]5 números para cada decena y [math]4 números para cada unidad. Entonces la suma de los pares será

[math]5\left ( 2\cdot 10+4\cdot 10+6\cdot 10+8\cdot 10 \right )+4\left ( 0+2+4+6+8 \right )=1080

Para el caso de los impares, tenemos [math]5 números para cada decena y [math]5 números para cada unidad. Entonces la suma de los impares será

[math]5\left ( 1\cdot 10+3\cdot 10+5\cdot 10+7\cdot 10+9\cdot 10 \right )+5\left ( 1+3+5+7+9 \right )=1375

Con una cifra:

Spoiler: mostrar

La suma de los pares es [math]0+2+4+6+8=20 y la de los impares [math]1+3+5+7+9=25.

Conclusión:

Los números de dígitos pares suman [math]54400+1080+20=55500

Los números de dígitos impares suman [math]69375+1375+25=70775

Por lo tanto, los de dígitos impares suman más.

[Fran5]

Spoiler: mostrar

La primer cifra puede ser cualquiera del conjunto [math]I o [math]P, donde [math]I= \left \{ 1,3,5,7,9 \right \} y [math]P=\left \{0,2,4,6,8 \right \}
La segunda cifra puede ser cualquiera del conjunto [math]I o [math]P
Del mismo modo la ultima cifra

Notemos que como [math]0 pertenece a [math]P, el numero [math]000 aparece, pero no nos afecta en nada
Los numeros [math]0ab y [math]00b aparecen solo con los pares. Los impares los sumaremos despues.

En los pares, tenemos [math]P para la primera, [math]P para la segunda, y [math]P para la tercera
Por lo que cada número aparece en [math]|P|^2 números, donde [math]|A| es la cantidad de elementos de [math]A

Luego, como la suma de los elementos de [math]P es [math]20, tenemos que su suma es [math]2220 \cdot 25

Ahora, en los impares, tenemos [math]I para la primera, [math]I para la segunda, e [math]I para la tercera.
Del mismo modo, la suma de los elementos de [math]I es [math]25, la suma de los numeros de tres cifras impares es [math]2775 \cdot 25

Como [math]2775 \cdot 25 > 2220 \cdot 25, los impares suman mas

NOTA: No hemos considerado los numeros de uno o dos dígitos con cifras impares

[JPablo]

Spoiler: mostrar

La primer cifra puede ser cualquiera del conjunto [math]I o [math]P, donde [math]I= \left \{ 1,3,5,7,9 \right \} y [math]P=\left \{0,2,4,6,8 \right \}
La segunda cifra puede ser cualquiera del conjunto [math]I o [math]P
Del mismo modo la ultima cifra

Notemos que como [math]0 pertenece a [math]P, el numero [math]000 aparece, pero no nos afecta en nada
Los numeros [math]0ab y [math]00b aparecen solo con los pares. Los impares los sumaremos despues.

En los pares, tenemos [math]P para la primera, [math]P para la segunda, y [math]P para la tercera
Por lo que cada número aparece en [math]|P|^2 números, donde [math]|A| es la cantidad de elementos de [math]A

Luego, como la suma de los elementos de [math]P es [math]20, tenemos que su suma es [math]2220 \cdot 25

Ahora, en los impares, tenemos [math]I para la primera, [math]I para la segunda, e [math]I para la tercera.
Del mismo modo, la suma de los elementos de [math]I es [math]25, la suma de los numeros de tres cifras impares es [math]2775 \cdot 25

Como [math]2775 \cdot 25 > 2220 \cdot 25, los impares suman mas

NOTA: No hemos considerado los numeros de uno o dos dígitos con cifras impares

Fascinante

[NicolasCassia]

Spoiler: mostrar

Para resolver este problema podemos decir que para cada número con sus cifras pares existe un número con sus cifras impares mayor que este (que se obtiene sumándole un 1 a cada una de sus cifras). Además este número siempre es menor que 1000(porque el numero con sus cifras pares más grande es 888) y único para cada número de dígitos pares. Si sumásemos todos los que tienen cifras pares eso nos daría un valor menor a que si sumásemos todos los números con un 1 más en sus cifras y por lo tanto la suma de los números con cifras impares es mayor.
Nota: Cada par tiene su correspondiente pero esto no pasa con todo impar (lo que no hace que la suma de los pares sea mayor).

[Peznerd]

Spoiler: mostrar

Para resolver este problema podemos decir que para cada número con sus cifras pares existe un número con sus cifras impares mayor que este (que se obtiene sumándole un 1 a cada una de sus cifras). Además este número siempre es menor que 1000(porque el numero con sus cifras pares más grande es 888) y único para cada número de dígitos pares. Si sumásemos todos los que tienen cifras pares eso nos daría un valor menor a que si sumásemos todos los números con un 1 más en sus cifras y por lo tanto la suma de los números con cifras impares es mayor.
Nota: Cada par tiene su correspondiente pero esto no pasa con todo impar (lo que no hace que la suma de los pares sea mayor).

¡Genio! Yo fui emparejándolos pero un poquito peor. Lindo razonamiento.