XXXV Torneo de las Ciudades Primavera 2014 NJ P7

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ésta

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XXXV Torneo de las Ciudades Primavera 2014 NJ P7

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Se han marcado los puntos $A_1, A_2, \ldots , A_{10}$ alrededor de una circunferencia, en el sentido de las agujas del reloj. Se sabe que estos puntos se pueden agrupar en pares de puntos simétricos con respecto al centro de la circunferencia. Inicialmente, en cada punto marcado hay un saltamontes. Cada minuto uno de los saltamontes salta sobre uno de sus vecinos a lo largo de la circunferencia de modo que la distancia relativa entre ellos no cambia. No está permitido saltar sobre ningún otro saltamontes ni caer en un punto que ya esté ocupado. Ocurre que en algún momento nueve saltamontes se encuentran sobre los puntos $A_1, A_2, \ldots , A_9$, y el décimo saltamontes está en el arco $\overset{\frown}{A_9A_{10}A_1}$. Determinar si es necesariamente cierto que este saltamontes esté exactamente sobre el punto $A_{10}$.
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Ivan

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Re: XXXV Torneo de las Ciudades Primavera 2014 NJ P7

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Solución:
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Sea $O$ el centro de la circunferencia y fijemos un punto $P_0$ en la circunferencia.

A cada punto $X$ de la circunferencia le podemos asociar un número real que es la medida (en radianes) del ángulo $P_0OX$. Llamamos a este número el argumento de $X$.

A una configuración de saltamontes le vamos a asociar un número real $\omega$. Primero dividimos los saltamontes en dos equipos $A$ y $B$ de $5$ saltamontes cada uno, de modo que alrededor de la circunferencia los saltamontes alternen el equipo. El número $\omega$ es la diferencia entre la suma de los argumentos de los saltamontes $A$ y la suma de los argumentos de los saltamontes $B$, o sea
$$\omega = {\sum_{X \text{ en } A} \text{argumento}(X)} - {\sum_{X\text{ en }B} \text{argumento}(X)}.$$
Notemos que salvo por el signo, este número está determinado por la configuración, ya que decidimos arbitrariamente cuál es el equipo $A$ y cuál es el equipo $B$. Pero los equipos en sí (olvidando el nombre) son los mismos.

De ahora en más miramos módulo $2\pi$. O sea escribimos $a \equiv b$ si existe $m\in \mathbb{Z}$ tal que $a=b+2k\pi$.

Notemos que para $i=1,\ldots,5$ por ser $A_{i+5}$ y $A_i$ diametralmente opuestos se tiene $\text{argumento}(A_{i+5})\equiv \pi+\text{argumento}(A_i)$. Entonces tenemos $$\omega = \sum_{i=1}^{10} (-1)^{i}\text{argumento}(A_i) \equiv 5 \pi \equiv \pi.$$

Además cuando un saltamonte de argumento $x$ salta sobre un saltamonte de argumento $y$ el argumento del saltamontes que saltó pasa a ser $2y-x$ módulo $2\pi$. Además sus equipos se intercambian. Entonces cuando un saltamontes salta el valor de $\omega$ módulo $\pi$ no cambia, ya que $x-y = y - (2y-x)$ y el resto de los sumandos que aparecen al calcular $\omega$ quedan igual.

Entonces el valor de $\omega$ en todo momento es $\pm \pi$ y de hecho no nos tenemos que preocupar por el signo (o sea, cuál es el equipo $A$ y cuál es el $B$) ya que $\pi \equiv - \pi$.

Finalmente, si al final el décimo saltamontes está en el punto $A_{10}'$, usando que $\omega$ es constante y cancelando los demás términos tenemos que $\text{argumento}(A_{10}')\equiv \text{argumento}(A_{10})$ y por lo tanto $A_{10}'=A_{10}$.
Comentarios:
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¿Sigue valiendo el problema sin la condición de los saltamontes diametralmente opuestos? Sin esta condición no podemos afirmar que $\omega$ es $\pi$. Algebraicamente tendríamos dos valores posibles para $A_{10}'$ que podrían caer en el arco $A_{9}A_{1}$ si es muy grande.

La misma solución se puede escribir multiplicando números complejos de norma $1$. Eso evita hablar de argumentos y mirar módulo $2\pi$. Cuando $w$ salta sobre $z$ tenemos que $w$ se mueve al punto $\frac{z^2}{w}$.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
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