47° IMO (2006) - Problema 1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Caro - V3

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015
Mensajes: 357
Registrado: Sab 16 Oct, 2010 4:20 pm
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico

47° IMO (2006) - Problema 1

Mensaje sin leer por Caro - V3 »

Sea [math] un triángulo y sea [math] el centro de su circunferencia inscrita. Sea [math] un punto en el interior del triángulo tal que
[math].
Demuestre que [math] y que vale la igualdad si y sólo si [math].
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]
Avatar de Usuario
ésta

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2017 OFO - Jurado-OFO 2018
Mensajes: 300
Registrado: Sab 16 Oct, 2010 4:55 pm
Medallas: 4
Nivel: Ñandú

Re: 47° IMO (2006) - Problema 1

Mensaje sin leer por ésta »

Spoiler: mostrar
Tenemos que
[math].
[math].
[math].

Y [math].

[math] (porque [math] es bisectriz de [math]).
[math] (porque [math] es bisectriz de [math]).

Y [math].

Entonces [math] y [math] es cíclico.
Sea [math] la circunferencia que pasa por [math], [math], [math] y [math].

Sea [math] la otra intersección de AI con [math].
[math].
Porque [math] es bisectriz de [math].
Por arco capaz [math].

En el triángulo [math]
[math].
[math].
[math] (porque [math]).
[math].
Entonces [math] es diámetro de [math].

Por potencia de un punto si [math] es la segunda intersección de [math] con [math],
[math]
[math]
Pero [math] porque el diámetro es mayor o igual que una cuerda.
Supongamos que [math] Absurdo.
Por lo tanto [math],

Si [math],
[math],
entonces [math] es diámetro de [math] pero entonces [math].
Y si [math] es trivial que [math].
Imagen
Avatar de Usuario
Turko Arias

Colaborador-Varias OFO - Medalla de Plata-OFO 2016 OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi
FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023
Mensajes: 591
Registrado: Lun 28 Nov, 2011 11:39 am
Medallas: 17
Nivel: Ñandú
Ubicación: La Plata, Provincia de Buenos Aires

Re: 47° IMO (2006) - Problema 1

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Spoiler: mostrar
Nombramos: [math], [math] y [math]. Por enunciado entonces tenemos que [math] de donde [math] pero entonces es igual a [math] de donde [math] e [math] están en una misma circunferencia, que además incluye a [math] y a [math]. Trazamos esa circunferencia [math]. Llamamos [math] a su centro. Vamos a ver que [math], [math], [math] están alineados. Trazamos la tangente a [math] por [math] que corta a [math] en [math] y a [math] en [math]. Por tangencia, [math], pero también sabemos que [math] por ende [math] y llegamos así a que [math]. Por tangentes también tenemos que [math], y por enunciado sabemos también que [math], de donde llegamos a que [math] y tenemos entonces que [math] y entonces [math] es isósceles. Pero [math] es bisectriz, entonces [math] es perpendicular a [math] y por lo tanto [math], [math], [math] estan alineados.
Ahora vamos a probar que [math]. Consideramos el triángulo [math]. Por desigualdad triangular tenemos que [math], pero [math], reemplazamos y nos queda que [math] y llegamos a que [math] como queríamos, con igualdad solo cuando [math].
Fundamentalista del Aire Acondicionado

Y todo el orgullo de ser bien bilardista
Avatar de Usuario
julianferres_

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2015 OFO - Medalla de Plata-OFO 2016 OFO - Medalla de Plata-OFO 2017 OFO - Mención-OFO 2021
Mensajes: 388
Registrado: Sab 17 Sep, 2011 8:01 pm
Medallas: 4
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Villa Ramallo, Buenos Aires

Re: 47° IMO (2006) - Problema 1

Mensaje sin leer por julianferres_ »

Spoiler: mostrar
IMO 2006 P1.png
Notemos que [math]

[math]

Por ser [math] el incentro:

[math] y [math]

Entonces [math]

El cuadrilátero [math] es cíclico.

Definimos como [math] a la circunferencia que contiene al cuadrilátero [math].

Sean [math] y [math] las segundas intersecciones de [math] y [math] con [math].

Por arco capaz [math]

*[math]

*[math]

Entonces [math]

Despejando [math]. Por lo tanto [math] es diámetro de [math].

Por potencia de [math] a la circunferencia:
[math]
[math] esto sucede ya que [math] es mayor que [math]

Entonces
[math]


Como [math], el único caso en el cual [math] es en el que [math] es di\'ametro, por ende [math].
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
usuario250

OFO - Jurado-OFO 2015
Mensajes: 236
Registrado: Vie 30 Dic, 2011 12:30 pm
Medallas: 1

Re: 47° IMO (2006) - Problema 1

Mensaje sin leer por usuario250 »

Primer problema que resolví en una IMO.
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: 47° IMO (2006) - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Spoiler: mostrar
Habiendo visto que $BPIC$ es cíclico y siendo $\Gamma$ su circuncírculo, prolongamos $AI$ hasta que corte al circuncírculo $\Omega$ de $\triangle ABC$ en $D$, entonces $D$ es el circuncentro de la circunscrita a $\triangle BIC$, pero esta es $\Gamma$. Sea $\Phi$ la circunferencia de centro $A$ y radio $AI$, entonces $\Phi$ y $\Gamma$ son tangentes en $I$. Si $AP=AI$, entonces $P\in \Phi$, pero además $P\in \Gamma$, como son tangentes en $I$, resulta $P=I$. Si $P=I$, entonces $AP=AI$
IMO 2006 P1 (1).png



Para probar que $AP>AI$ cuando $P\neq I$, vamos a usar el hecho de que la distancia más corta entre dos puntos es el segmento que los une, entonces $AP+PD>AD=AI+ID=AI+PD$ por ser $D$ centro de $\Gamma$, entonces $AP+PD>AI+PD\Rightarrow AP>AI$
IMO 2006 P1 (2).png
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Avatar de Usuario
Turko Arias

Colaborador-Varias OFO - Medalla de Plata-OFO 2016 OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi
FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023
Mensajes: 591
Registrado: Lun 28 Nov, 2011 11:39 am
Medallas: 17
Nivel: Ñandú
Ubicación: La Plata, Provincia de Buenos Aires

Re: 47° IMO (2006) - Problema 1

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Un remake un poco más teórico, pero con la misma esencia que la que subí hace unos años:
Spoiler: mostrar
$\angle ABC= \alpha$, $\angle ACB= \beta$, luego del enunciado se deduce $\angle PBC + \angle PCB=\frac{\alpha + \beta}{2}=\angle IBC + \angle ICB$, luego $BPIC$ es cíclico. Sea $Q$ el $A$-excentro de $ABC$, es conocido que $BICQ$ es cíclico, con $IQ$ diametro. Sea $O$ el circuncentro de $BICQ$, por propiedades del excentro $A, I, O, Q$ están alineados. Por desigualdad triangular en $APO$, $AO \leq OP+PA$, pero usando la colinealidad nos queda $IA \leq PA$ con igualdad solo cuando $P$ está entre $A$ y $O$, pero estaba sobre la circunscripta de $BICQ$, luego se da si y solo si $P=I$. $\blacksquare$
Fundamentalista del Aire Acondicionado

Y todo el orgullo de ser bien bilardista
Avatar de Usuario
Sandy

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2019 OFO - Medalla de Plata-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Ariel Zylber FOFO 10 años - Copa-FOFO 10 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2021 FOFO 11 años - Medalla-FOFO 11 años OFO - Medalla de Plata-OFO 2022 OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 280
Registrado: Lun 27 Nov, 2017 1:59 am
Medallas: 11
Nivel: 3

Re: 47° IMO (2006) - Problema 1

Mensaje sin leer por Sandy »

Spoiler: mostrar
Es el $\mathbb{Trueno}$ $P\widehat{A}I$
Spoiler: mostrar
Como las condiciones son simétricas en $B$ y $C$, sea $B$ el vértice con $CBI\geq CBP$ porque no me llevo bien con los ángulos orientados.
$BIC=180^{\circ}-IBC-ICB=180^{\circ}-\frac{ABC}{2}-\frac{ACB}{2}=180^{\circ}-\frac{ABC+ACB}{2}=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}-BAC}{2}=90^{\circ}+CAI$
Análogamente, $AIB=90^{\circ}+ICB$ y $AIC=90^{\circ}+IBA$
$BPA+PAB+PBA+PAC+PCA+CPA=360^{\circ}\Longrightarrow PBA+PCA=360^{\circ}-BPA-PAB-PAC-CPA=BPC-BAC$
Por la condición inicial $PBA+PCA=PBC+PCB=180^{\circ}-BPC$, luego $180^{\circ}-BPC=BPC-BAC\Longrightarrow BPC=\frac{180^{\circ}+BAC}{2}=90^{\circ}+CAI$.
Luego $BIC=BPC$ por lo que $BPIC$ es cíclico, luego $PBC=CIP$.
Luego $AIP=AIC-CIP=90^{\circ}+IBA-CBP=90^{\circ}+IBC-CBP=90^{\circ}+IBP\geq 90^{\circ}$ con igualdad sólo si $IBP=ICP=0^{\circ}$, es decir $I=P$.
Es decir que, si $I\neq P$, $AIP$ es obtuso, por lo que $AP$ es el mayor lado del triángulo $AIP$
Fallo inapelable.
Responder