Un lema muy útil: AH=2OM

[Vladislao]

Sea [math]\triangle ABC un triángulo. Sea [math]M el punto medio de [math]BC. Sean [math]H el ortocentro y [math]O el circuncentro de [math]\triangle ABC. Entonces se verifica que: [math]2OM = AH.

Esta igualdad se puede probar usando el concepto de Recta de Euler. Es muy útil para varios problemas. La demostración les queda como ejercicio.

[usuario250]

Ayuda: fijarse que papel cumplen O y M en el triangulo formado por los puntos medios de ABC.

[JPablo]

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Supongamos que [math]ABC es el triángulo anticomplementario de un triángulo [math]MYZ. Por lo que sabemos de triángulos anticomplementarios, el ortocentro de [math]MYZ será el circuncentro de [math]ABC, es decir, [math]O es el ortocentro de [math]MYZ.

Como los triángulos [math]ABC y [math]MYZ son semejantes (por ser uno el anticomplementario de otro), y como las dimensiones de [math]MYZ son [math]\frac{1}{2} respecto de las de [math]ABC entonces

[math]\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2} puesto que ambos segmentos son homólogos: [math]AH es el segmento que une un vértice de [math]ABC con su ortocentro, y [math]OM es el segmento que une el vértice homólogo del triángulo semejante [math]MYZ con su ortocentro.

Si [math]\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2} entonces [math]AH=2OM

[Fran5]

Una mas facil que creo que sirve.

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Por euler, tenemos que [math]H [math]G y [math]O están alineados
Entonces, [math]HG y [math]GO son paralelas
Del mismo modo lo son [math]AH y [math]OM puesto que son perpendiculares a [math]BC
Y como sabemos que [math]AM pasa por [math]G tenemos que [math]AG y [math]GM son paralelas

Luego, [math]AHG y [math]MOG son semejantes con [math]\frac{AH}{OM}=\frac{AG}{GM}=\frac{2}{1} QED

[Gianni De Rico]

Más corta, y de yapa te demuestra le recta de Euler:

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Sea $G$ el bericentro de $\triangle ABC$. Consideramos la homotecia con centro $G$ y razón $-2$, esta homotecia manda el punto $M$ al punto $A$, luego, manda la mediatriz de $BC$ a la altura desde $A$. Análogamente manda las mediatrices de cada lado a las alturas desde el vértice opuesto, entonces manda $O$ a $H$. Luego $O,G,H$ están alineados, $GH=2GO$ y $AH=2OM$.