Nacional N2 P1 2007

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
ktc123

OFO - Medalla de Plata-OFO 2015 OFO - Medalla de Plata-OFO 2016 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2017 OFO - Mención-OFO 2019 OFO - Medalla de Plata-OFO 2020
OFO - Mención-OFO 2021
Mensajes: 204
Registrado: Jue 21 Jun, 2012 9:09 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico
Ubicación: La Plata, Buenos Aires

Nacional N2 P1 2007

Mensaje sin leer por ktc123 »

En cada casilla de un tablero de [math] casillas consecutivas hay que escribir un número entero de [math] a [math], sin repetir números. A continuación se consideran los siguientes [math] números: el número de la primera casilla de la izquierda; la suma de los números de las dos primeras casillas (desde la izquierda); la suma de los números de las tres primeras casillas; . . . ; la suma de los números de las [math] primeras casillas y la suma de los números de todas las casillas. Por cada uno de estos [math] números que tenga resto [math] en la división por [math] se gana [math] peso. ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que se puede ganar?
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨
Avatar de Usuario
Ivan

Colaborador-Varias
Mensajes: 1023
Registrado: Vie 15 Oct, 2010 7:18 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico

Re: Nacional N2 P1 2007

Mensaje sin leer por Ivan »

Dejo la idea, con cuidado se puede escribir bien:
Spoiler: mostrar
  • Pensar todos los números como restos módulo [math]. Tenemos que los restos [math] aparecen [math] veces cada uno y los restoss [math] aparecen [math] veces cada uno.
  • Demostrar que uno puede olvidarse de los [math] (mostrando que resolver el problema con los [math] equivale a resolver el problema sin los [math] y después intercalarlos en algún lugar donde la suma tenga resto [math]).
  • Probar que con los otros [math] restos lo mejor que se puede hacer es ubicarlos así:
    [math]
    Para ver eso, podemos notar que la suma de todos los números es [math], así que la suma de todos no puede tener resto [math].

    Además en cada uno de los pares que forman la primer suma con la segunda, la tercer suma con la cuarta, la quinta suma con la sexta, y así siguiendo, solamente una puede tener resto [math], ya que de lo contrario el número en el que difieren las dos sumas consecutivas sería un [math], pero no hay [math] en el tablero.

    Luego a lo sumo puede haber [math] sumas con resto [math]. El ejemplo muestra que esto se puede lograr.
  • Ahora intercalando los [math], concluimos que la máxima cantidad que se puede ganar es [math] pesos.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
NicolasC

OFO - Mención-OFO 2019 FOFO 9 años - Mención Especial-FOFO 9 años OFO - Mención-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Mención-FOFO Pascua 2020
Mensajes: 16
Registrado: Sab 26 Ago, 2017 11:28 pm
Medallas: 4
Nivel: 3

Re: Nacional N2 P1 2007

Mensaje sin leer por NicolasC »

Ivan escribió: Vie 17 May, 2013 4:12 pm Dejo la idea, con cuidado se puede escribir bien:
Spoiler: mostrar
  • Pensar todos los números como restos módulo $6$. Tenemos que los restos $0,4,5,6$ aparecen $334$ veces cada uno y los restoss $1,2,3$ aparecen $335$ veces cada uno.
  • Demostrar que uno puede olvidarse de los $0$ (mostrando que resolver el problema con los $0$ equivale a resolver el problema sin los $0$ y después intercalarlos en algún lugar donde la suma tenga resto $5$).
  • Probar que con los otros $2007-334=1673$ restos lo mejor que se puede hacer es ubicarlos así: $$(2\,3)\,\,[(1\,5)\,(1\,5)\, \ldots\,(1\,5)]\,\,[(2\,4)\,(2\,4)\,\ldots\, (2\,4)]\,\,[(3\,3)\, (3\,3)\, \ldots \,(3\,3)]\,\,1$$ Para ver eso, podemos notar que la suma de todos los números es $0$, así que la suma de todos no puede tener resto $5$.

    Además en cada uno de los pares que forman la primer suma con la segunda, la tercer suma con la cuarta, la quinta suma con la sexta, y así siguiendo, solamente una puede tener resto $5$, ya que de lo contrario el número en el que difieren las dos sumas consecutivas sería un $0$, pero no hay $0$ en el tablero.

    Luego a lo sumo puede haber $\frac{1673-1}{2}=836$ sumas con resto $5$. El ejemplo muestra que esto se puede lograr.
  • Ahora intercalando los $0$, concluimos que la máxima cantidad que se puede ganar es $836+334=1170$ pesos.
Como te puede dar resto 6 cuando estas escribiendo los números en modulo 6?
Si buscas un resultado distinto, no hagas siempre lo mismo
Avatar de Usuario
Ivan

Colaborador-Varias
Mensajes: 1023
Registrado: Vie 15 Oct, 2010 7:18 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico

Re: Nacional N2 P1 2007

Mensaje sin leer por Ivan »

NicolasC escribió: Mar 23 Abr, 2019 4:14 pm Como te puede dar resto 6 cuando estas escribiendo los números en modulo 6?
Tenés razón, donde dice
Ivan escribió: Vie 17 May, 2013 4:12 pm Pensar todos los números como restos módulo $6$. Tenemos que los restos $0$, $4$, $5$, $6$ aparecen $334$ veces cada uno y los restoss $1$, $2$, $3$ aparecen $335$ veces cada uno.
debería decir
Ivan escribió: Vie 17 May, 2013 4:12 pm Pensar todos los números como restos módulo $6$. Tenemos que los restos $0$, $4$, $5$ aparecen $334$ veces cada uno y los restos $1$, $2$, $3$ aparecen $335$ veces cada uno.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Responder