Un número $a$ de tres cifras es raro si existe un número $b$ de dos cifras tal que al dividir $a$ por $b$, el resto es igual al cubo del cociente. Por ejemplo, $100$ es raro porque al dividirlo por $46$, el cociente es $2$ y el resto es $8=2^3$.
¿Cuántos números raros de tres cifras hay?
Si $c$ es el cociente y $r$ el resto tenemos que $c\times b+r=a$ y $c^3=r$. Excluímos los negativos. Como $a$ tiene tres cifras y $b$ dos, el resto es como mucho $99$, entonces tenemos que $c<5$. Por otro lado, si $c=0$ llegaremos a $a<b$, absurdo. Quedan cuatro casos:
Si $c=1$, $r=1$. Entonces $b+1=a$. Única, $b=99$ y $a=100$. Un número raro.
Si $c=2$, $r=8$. Entonces $2b+8=a$. Tenemos $45<b<100$. Veamos que $2(b+1)+8=2b+8+2=a+2$, como el menor $b$ es $46$ que nos lleva a $a=100$, $a$ recorre todos los valores pares dentro de este límite $99<a<207$. Hay en total $54$ casos, como el $100$ ya estaba antes, son $53$ nuevos.
Si $c=3$, $r=27$. Entonces $3b+27=a$. Tenemos $24<b<100$. Veamos que $3(b+1)+27=3b+27+3=a+3$, como el menor $b$ es $25$ que nos lleva a $a=102$, $a$ recorre todos los valores múltiplos de $3$ dentro de este límite $101<a<325$. Hay en total $75$ casos, pero todos los pares menores a $207$ repiten. El primer par repetido que aparece es $102$, el último $204$, además aparecen cada $6$ números, entonces hay $18$ repetidos. $75-18=57$ casos nuevos.
Si $c=4$, $r=64$. Entonces $4b+64=a$. Tenemos $8<b<100$. Veamos que $4(b+1)+64=4b+64+4=a+4$, como el menor $b$ es $9$ que nos lleva a $a=100$, $a$ recorre todos los valores múltiplos de $4$ dentro de este límite $99<a<461$. Hay en total $91$ casos, pero todos los pares menores a $207$ repiten, al igual que los múltiplos de $3$ menores que $325$. En el primer caso se repiten cada cuatro números partiendo desde $100$ hasta $204$ inclusive, hay $27$, en el segundo hay uno repetido cada $12$ números partiendo desde $108$ hasta el $324$ inclusive, hay $19$. A esto le sumo los casos que resté dos veces que aparecen entre $108$ y $204$ inclusive cada $12$ números, tengo $9$. Al final hay $91-27-19+9=54$ nuevos.
Sumando todo tengo $1+53+57+5=165$ números raros de tres cifras.
Si cuentan los negativos tengo el doble de casos, $330$, porque a cada $a$ le puedo asignar un $-a$ y a cada $b$ un $-b$.
Si $c$ es el cociente y $r$ el resto tenemos que $c\times b+r=a$ y $c^3=r$. Excluímos los negativos. Como $a$ tiene tres cifras y $b$ dos, el resto es como mucho $99$, entonces tenemos que $c<5$. Por otro lado, si $c=0$ llegaremos a $a<b$, absurdo. Quedan cuatro casos:
Si $c=1$, $r=1$. Entonces $b+1=a$. Única, $b=99$ y $a=100$. Un número raro.
Si $c=2$, $r=8$. Entonces $2b+8=a$. Tenemos $45<b<100$. Veamos que $2(b+1)+8=2b+8+2=a+2$, como el menor $b$ es $46$ que nos lleva a $a=100$, $a$ recorre todos los valores pares dentro de este límite $99<a<207$. Hay en total $54$ casos, como el $100$ ya estaba antes, son $53$ nuevos.
Si $c=3$, $r=27$. Entonces $3b+27=a$. Tenemos $24<b<100$. Veamos que $3(b+1)+27=3b+27+3=a+3$, como el menor $b$ es $25$ que nos lleva a $a=102$, $a$ recorre todos los valores múltiplos de $3$ dentro de este límite $101<a<325$. Hay en total $75$ casos, pero todos los pares menores a $207$ repiten. El primer par repetido que aparece es $102$, el último $204$, además aparecen cada $6$ números, entonces hay $18$ repetidos. $75-18=57$ casos nuevos.
Si $c=4$, $r=64$. Entonces $4b+64=a$. Tenemos $8<b<100$. Veamos que $4(b+1)+64=4b+64+4=a+4$, como el menor $b$ es $9$ que nos lleva a $a=100$, $a$ recorre todos los valores múltiplos de $4$ dentro de este límite $99<a<461$. Hay en total $91$ casos, pero todos los pares menores a $207$ repiten, al igual que los múltiplos de $3$ menores que $325$. En el primer caso se repiten cada cuatro números partiendo desde $100$ hasta $204$ inclusive, hay $27$, en el segundo hay uno repetido cada $12$ números partiendo desde $108$ hasta el $324$ inclusive, hay $19$. A esto le sumo los casos que resté dos veces que aparecen entre $108$ y $204$ inclusive cada $12$ números, tengo $9$. Al final hay $91-27-19+9=54$ nuevos.
Sumando todo tengo $1+53+57+5=165$ números raros de tres cifras.
Si cuentan los negativos tengo el doble de casos, $330$, porque a cada $a$ le puedo asignar un $-a$ y a cada $b$ un $-b$.
Se te olvidó el detalle de que si "$c$ es el cociente y $r$ el resto tenemos que $c\times b+r=a$ y $c^3=r$" entonces $b>r$ siempre.
Si usamos la misma lógica pero con ese dato extra podemos concluir que:
con $b=1$ hay 1 caso nuevo
con $b=2$ hay 53 casos nuevos (1 repetidos)
con $b=3$ hay 56 casos nuevos (16 repetidos)
con $b=4$ hay 34 casos nuevos (1 repetido)
Podemos reescribir la condición como $$
b \times c + c³ = a \text{ con } c^3 < b
$$ Entonces, como $b$ tiene $2$ cifras, $$
b < 100 \Rightarrow c^3 < 100 \Leftrightarrow c \leq 4
$$ Por lo que solo queda ver estos $4$ casos y tener cuidado con los repetidos.
$c = 1$
$2b + 8 = a \Rightarrow 2 \mid a$
Como $b \leq 99 \Rightarrow a \leq 206$ y $a \geq 100$, hay $\frac{206-100}{2} + 1 = 54$ números raros, de los cuales tenemos que restar uno, el $100$, porque ya lo contamos antes. Por lo tanto, hay $54 - 1 = 53$ que no hubiesemos contado antes.
$3b + 27 = a \Rightarrow 3 \mid a$
Como $b \leq 99 \Rightarrow a \leq 324$ y $b > 27 \Rightarrow a \geq 111$, hay $\frac{324 - 111}{3} + 1 = 72$ números raros, de los cuales tenemos que restar los que ya contamos antes, que son los múltiplos de $6$ que están entre $114$ y $204$ los cuales son $\frac{204 - 114}{6} + 1 = 16$. Esto significa que hay $72 - 16 = 56$ que no hubiesemos ya contado.
$4b + 64 = a \Rightarrow 4 \mid a$
Como $b \leq 99 \Rightarrow a \leq 460$ y $b > 64 \Rightarrow b \geq 324$, hay $\frac{460 - 324}{4} + 1 = 35$ números raros, de los cuales solo $324$ es repetido. Por lo que hay $35 - 1 = 34$ números raros nuevos.
En conclusión, hay un total de $1 + 53 + 56 + 34 = 144$ números raros de $3$ cifras. $\blacksquare$