3er Selectivo IMO Uruguay 2024 - Problema 4

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Tob.Rod

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3er Selectivo IMO Uruguay 2024 - Problema 4

Mensaje sin leer por Tob.Rod »

Sea $ABC$ un triángulo con $CA = CB$. $E$ pertenece a la circunferencia circunscrita de $ABC$ tal que $\angle ECB = 90$. La recta paralela a $CB$ que pasa por $E$ interseca a $CA$ en $F$ y a $AB$ en $G$. Probar que el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $EGB$ pertenece a la circunferencia circunscrita del triángulo $ECF$.
No den papaya
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marcoalonzo

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Re: 3er Selectivo IMO Uruguay 2024 - Problema 4

Mensaje sin leer por marcoalonzo »

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Sea $D$ la segunda intersección de la circunferencia circunscrita de $FEC$ con $CB$.
Dado que $ECBA$ es cíclico y $\angle BCE=90^\circ$ resulta $\angle BAE=90^\circ$. Como $BC\parallel EG$ se tiene $AFG\sim ACB$, con lo que $AFG$ es isósceles y así $FG=FA$, de donde $FG=FA=FE$ por la propiedad de la mediana respecto de la hipotenusa en el triángulo rectángulo $GAE$.
Por el paralelismo entre $BC$ y $EG$ vale que $\angle CEG=90^\circ=\angle ECB$, por lo que $\angle CDF=90^\circ=\angle DFE$ al ser $FECD$ cíclico. Luego $FECD$ es un rectángulo y $DE=FE=FG$, es decir que $GFCD$ es un paralelogramo por tener dos lados opuestos paralelos y congruentes. En particular vale que $FC\parallel GD$, con lo que $GDB\sim ACB$ y así $BD=DG$ por ser $ACB$ isósceles.
Finalmente, como $GF=FE$, $\angle GFD=180^\circ-\angle EFD=90^\circ=\angle EFD$ y $FD=FD$, los triángulos $GFD$ Y $EFD$ son congruentes, de modo que $ED=DG=DB$, de donde $D$ es el circuncentro de $EGB$.
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