Provincial 2008 Nivel 2 Problema 3

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agleidhold
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Provincial 2008 Nivel 2 Problema 3

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Sea $ABCD$ un paralelogramo con lados $AB, BC, CD, DA$ y sean $E$ el punto medio del lado $AB$, $F$ el punto medio del lado $BC$ y $P$ el punto de intersección de los segmentos $CE$ y $DF$.
Calcular $\dfrac{\text{área}(CDP)}{\text{área}(BCP)}$, $\dfrac{\text{área}(ABP)}{\text{área}(BCP)}$ y $\dfrac{\text{área}(DAP)}{\text{área}(BCP)}$.
$\large{e^{i\pi}+1=0}$
ricarlos
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Re: Provincial 2008 Nivel 2 Problema 3

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Respuesta
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[CDP]/[BCP]
Solución
Spoiler: mostrar
Sea $Q=AB\cap DF$ sabemos que $QB=DC=AB$, entonces con Menelao en triangulo $BCE$ y la transversal $PFQ$, haciendo todos los deberes, nos queda $\frac{EP}{PC}=\frac{3}{2}$ o también $\frac{PC}{EC}=\frac{2}{5}$

Vemos que $[BCE]=\frac{1}{4}[ABCD]$ y también tenemos que $[DCE]=\frac{1}{2}[ABCD]$, por lo tanto si usamos el resultado de Menelao tenemos

$[BCP]=\frac{2}{5}[BCE]=\frac{2}{5}\frac{1}{4}[ABCD]=\frac{1}{10}[ABCD]$ y

$[DCP]=\frac{2}{5}[DCE]=\frac{2}{5}\frac{1}{2}[ABCD]=\frac{1}{5}[ABCD]$, luego

$\frac{[DCP]}{[BCP]}=\frac{\frac{1}{5}[ABCD]}{\frac{1}{10}[ABCD]}=2$
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
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