Sel Ibero 1999 Problema 4

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Prillo

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Sel Ibero 1999 Problema 4

Mensaje sin leer por Prillo »

Hallar el menor valor de [math] para el que [math] puede expresarse como la suma de [math] potencias cuartas de números enteros positivos.
mazzito
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Re: Sel Ibero 1999 Problema 4

Mensaje sin leer por mazzito »

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Notemos que [math] para [math] impar y que [math] para [math] par. Veamos que [math], entonces sabemos que [math].
Demostremos que no hay solución para [math]:
Veamos que [math] entonces los [math] deben ser menores o iguales a 6(donde [math] son lo números que se elevan a la 4). Entonces en este caso solo podemos usar las potencias [math], por lo que sabemos que [math], donde [math]. Restando y dividiendo por [math] nos queda que [math], mirando modulo [math] tenemos que [math], de donde sale que [math], ocurre entonce que [math] de donde [math], absurdo.
Para [math] mostramos un ejemplo:
[math]. Con lo que completamos la solución.
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drynshock

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Mensaje sin leer por drynshock »

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Notemos que $(2k+1)^4 \equiv (4k^2+4k+1)^2 \equiv 1+8k^2+8k \equiv 1 \pmod {16}$ y $(2k)^4 \equiv 0 \pmod{16}$. Además, las únicas potencias que podemos usar son $1, 16, 81, 256, 625, 1296$ porque la siguiente es $2401$ y nos pasamos. Digamos que

$$\alpha_1 + \alpha_2.16+\alpha_3.81+\alpha_4.256+\alpha_5.625+\alpha_6.1296 = 1999$$

Donde cada $\alpha_i$ representa la cantidad de veces que usamos esa respectiva potencia. Notemos que

$$\alpha_1 + \alpha_3+\alpha_5 \equiv 15 \pmod{16}$$

Luego, jugando un poco con los números vemos que $4.1+16+9.81+2.625 = 1999$ y en total usamos $16$ potencias, así que es intuitivo intentar demostrar que si o si debe aparecer una potencia par. Supongamos que no, entonces $\alpha_2 = \alpha_4 = \alpha_6 = 0$.

Notar que $a^4 \equiv 1 \pmod{5}, (a\not\equiv 0 \pmod 5)$ por pequeño teorema de Fermat, luego:

$$\alpha_1+\alpha_3 \equiv 4 \pmod 5 \Rightarrow 15-\alpha_5 \equiv 4 \pmod 5 \iff \alpha_5 \equiv 1 \pmod 5$$

Lo que nos dice $\alpha_5 = 1$, pues para $\alpha_5 \geq 6$ nos pasamos de $1999$. Pero entonces, el valor máximo que podemos obtener, por Rearrangement, es $81.14+625 = 1759<1999$, absurdo. Se sigue que necesariamente debe haber un par en la suma, de donde el mínimo es de $16$ potencias cuartas y el ejemplo ya esta dado.
@Bauti.md ig
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