Notemos que [math]i^4\equiv1\pmod{16} para [math]i impar y que [math]i^4\equiv0\pmod{16} para [math]i par. Veamos que [math]1999\equiv15\pmod{16}, entonces sabemos que [math]n\geq 15.
Demostremos que no hay solución para [math]n=15:
Veamos que [math]{7^4}\geq 1999 entonces los [math]a_i deben ser menores o iguales a 6(donde [math]a_i son lo números que se elevan a la 4). Entonces en este caso solo podemos usar las potencias [math]1^4=1,3^4=81 y 5^4=625, por lo que sabemos que [math]1999=15+80a+624b, donde [math]{a+b}\leq 15. Restando y dividiendo por [math]16 nos queda que [math]124=5a+39b, mirando modulo [math]5 tenemos que [math]b\equiv1\pmod{5}, de donde sale que [math]b=1, ocurre entonce que [math]5a=85 de donde [math]a=17, absurdo.
Para [math]n=16 mostramos un ejemplo: [math]1999=7.{1^4}+6.{3^4}+{4^4}+2.{5^4}. Con lo que completamos la solución.
Notemos que $(2k+1)^4 \equiv (4k^2+4k+1)^2 \equiv 1+8k^2+8k \equiv 1 \pmod {16}$ y $(2k)^4 \equiv 0 \pmod{16}$. Además, las únicas potencias que podemos usar son $1, 16, 81, 256, 625, 1296$ porque la siguiente es $2401$ y nos pasamos. Digamos que
Luego, jugando un poco con los números vemos que $4.1+16+9.81+2.625 = 1999$ y en total usamos $16$ potencias, así que es intuitivo intentar demostrar que si o si debe aparecer una potencia par. Supongamos que no, entonces $\alpha_2 = \alpha_4 = \alpha_6 = 0$.
Notar que $a^4 \equiv 1 \pmod{5}, (a\not\equiv 0 \pmod 5)$ por pequeño teorema de Fermat, luego:
Lo que nos dice $\alpha_5 = 1$, pues para $\alpha_5 \geq 6$ nos pasamos de $1999$. Pero entonces, el valor máximo que podemos obtener, por Rearrangement, es $81.14+625 = 1759<1999$, absurdo. Se sigue que necesariamente debe haber un par en la suma, de donde el mínimo es de $16$ potencias cuartas y el ejemplo ya esta dado.